Kontrolinis algebros namu̧ darbas . 2002 pavasario semestras. Rimantas Grigutis Operatoriaus kanoninės matricos.

Duota operatoriaus A : R^{12} → R^{12} matricos Frobeniuso forma A standartinėje bazėje.

1. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso forma̧.

2. Parašykite operatoriaus A matricos Frobeniuso-Žordano forma̧ ir bazȩ.

3. Parašykite operatoriaus A plėtininio A : C^{12} → C^{12} matricos Žordano forma̧ ir bazȩ.

4. Parašykite operatoriaus A matricos realia̧ja̧ kanoninȩ forma̧ ir bazȩ.

Pastabos. 1. Kiekvienas studentas pasirenta individualius, nepasikartojančius parametrus a ir b.

2. Darbas yra individualus.

3. Visus skaičiavimus būtina pagri̧sti.

4. Darbas turi būti atspausdintas.

5. Darba̧ galima pristatyti iki 2002 06 03(pirmadienis) dienos 10:00 307 aud.

1 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} . a = −1, 1,; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{4} & O & O \\ O & F & O \\ O & O & F \end{matrix} ) .

2 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} . a = −2, 2; b yra toks ≥ 37 , kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{4} & O \\ O & F^{2} \end{matrix} ) .

3 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −3, 3; b yra toks ≥ 37 , kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O & O \\ O & F & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & F \end{matrix} ) .

4 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −4, 4; b yra toks ≥ 37 , kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O \\ O & F^{2} & O \\ O & O & F \end{matrix} ) .

5 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −5, 5; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O \\ O & F^{3} \end{matrix} ) .

6 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} . a = −6, 6; b yra toks ≥ 37 , kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O & O \\ O & F^{2} & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & F \end{matrix} ) .

7 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} . a = −7, 7,; b yra toks ≥ 37 , kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{4} & O & O \\ O & F & O \\ O & O & F \end{matrix} ) .

8 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{4} . a = −8, 8; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{4} & O \\ O & F^{2} \end{matrix} ) .

9 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −9, 9; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O & O \\ O & F & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & F \end{matrix} ) .

10 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −10, 10; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O & O \\ O & F^{2} & O \\ O & O & F \end{matrix} ) .

11 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{3} . a = −11, 11; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{3} & O \\ O & F^{3} \end{matrix} ) .

12 grupei.

Operatoriaus A charakteristinis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{6} . Operatoriaus A minimalusis polinomas: χ_{A} (t) = (t^{2} + at + b)^{2} . a = −12, 12; b yra toks ≥ 37, kad a^{2} − 4b < 0.

A = ( \begin{matrix}F^{2} & O & O & O \\ O & F^{2} & O & O \\ O & O & F & O \\ O & O & O & F \end{matrix} ) .

Pastaba. čia F^{i}− polinomo (t^{2} + at + b)^{i} lydinčioji matrica.