Algebros egzaminas. Informatika. 2 semestras. 2002 06 14. Rimantas Grigutis

1. Tegu U - poerdvis R^{n} ir P = v_{0} + U - plokštuma. I̧rodykite: (i) jeigu v_{1}, v_{2} ∈ P, tai v_{1} − v_{2} ∈ U; (ii) jeigu v_{1} ∈ P ir v_{1} − v_{2} ∈ U, tai v_{2} ∈ P.

Sprendimas.

(i) Jeigu v_{1}, v_{2} ∈ P, tai v_{1} = v_{0} + u_{1} ir v_{2} = v_{0} + u_{2} , čia u_{1}, u_{2} ∈ U(pagal apibrėžima̧). Tada v_{1} − v_{2} = u_{1} − u_{2} ∈ U, nes U− poerdvis.

(ii) Jeigu v_{1} ∈ P ir v_{1} − v_{2} ∈ U, tai v_{1} − v_{2} = u ir v_{1} = v_{2} + u, čia u ∈ U. I̧rodyta.

2. Su kuriomis s reikšmėmis, lygčiu̧ sistemos: x_{1}+x_{2}+sx_{3} = 0; x_{1}+sx_{2}+x_{3} = 0; sx_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 sprendiniais yra: (i) tiesė; (ii) plokštuma; (iii) taškas; (iv) visa erdvė R^{3} ?

Sprendimas. Sistemos matricos determinatas det ( \begin{matrix}1 & 1 & s \\ 1 & s & 1 \\ s & 1 & 1 \end{matrix} ) = 3s − 2 −

s^{3} = − (s + 2) (s − 1)^{2} . Todėl (i) kai s = −2, tai sprendiniu̧ aibė yra tiesė x_{1} = t, x_{2} = t, x_{3} − t; (ii) kai s = 1, tai sprendiniu̧ aibė yra plokštuma x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0; (iii) kai s ≠ −2 arba s ≠ 1, tai tai sprendiniu̧ aibė yra taškas (0, 0, 0) ; (iv) nera tokio s, kad taip būtu̧. Išsprȩsta.

3. Raskite vektoriaus v = (7, −3, −1) ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ poerdvi̧, apibrėžta̧ lygčiu̧ sistema: x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0, 4x_{1} + 5x_{3} = 0.

Sprendimas.

Poerdvio bazė yra vektorius (−5, 1, 4) . Ortogonalaus papildinio bazė yra (1, 1, 1) ; (4, 0, 5) . Tada išsprendus lygčiu̧ sistema̧

\{ \begin{matrix}x + 4y − 5z = 7 \\ x + z = −3 \\ x + 5y + 4z = −1 \end{matrix} , Solution is : \{y = 1, z = −1, x = −2\}

turėsime, kad v = (−2 (1, 1, 1) + (4, 0, 5))+(− (−5, 1, 4)) = (2, −2, 3)+(5, −1, −4) .

Atsakymas: proj_{⟨(−5,−9,4)⟩}v = (2, −2, 3) ; ort_{⟨(−5,−9,4)⟩}v = (5, −1, −4) .

4. Raskite kvadratinės formos f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} : (i) ranga̧; (ii) normalu̧ju̧ pavidala̧ ir keitimo matrica̧.

Sprendimas.

(i) Kvadratinės formos rangas 2.

(ii) f = y_{1}^{2}−y_{2}^{2} ir keitimo matrica C = ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , t.y. \begin{matrix}x_{1} = y_{1} − y_{2} − y_{3} \\ x_{2} = y_{1} + y_{2} \\ x_{3} = y_{3} \end{matrix} :

C^{T} AC = ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )^{T} ( \begin{matrix}0 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}1.0 & 0 & 0 \\ 0 & −1.0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

5. Pasinaudojȩ Košy - Švraco nelygybe aritmetinėje erdvėje R^{n}, i̧rodykite, kad (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}) (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} ) ≥ n^{2}, su visais teigiamais realiais skaičiais a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}.

Sprendimas.

Tegu v = (\sqrt{a_{1}}\sqrt{, a_{2}}, ..., \sqrt{a_{n}}) ir u = (\frac{1}{\sqrt{a_{1}}} , \frac{1}{\sqrt{a_{2}}} , ..., \frac{1}{\sqrt{a_{n}}} ) . Tada (u · v)^{2} =

(\underbrace{1 + 1 + ⋯ + 1}_{n})^{2} = n^{2} ≤∥ v ∥^{2} · ∥ u ∥^{2}= (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}) (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}} ) .

I̧rodyta.

6. Tegu (x^{3} − 6x^{2} + 12x − 8) (x^{2} + 2x + 1) - tiesinio operatoriaus A charakteristinis polinomas. Parašykite visus galimus operatoriaus A matricos Žordano pavidalus ir kiekvienu iš šiu̧ atveju̧ nurodykite A minimalu̧ji̧ polinoma̧.

Sprendimas. Galimi 6 variantai:

Matrica Minimalusis polinomas

( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{3} (x + 1)^{2}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{3} (x + 1)^{1}}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{2} (x + 1)^{2}}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{2} (x + 1)^{1}}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{1} (x + 1)^{2}}^{( \begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) (x − 2)^{1} (x + 1)^{1}}

3