1. TIESINIAI ATVAIZDŽIAI

Apibendrinti veiksmai su matricomis.

Teorema. Tegu M, N, P, Q, R, S - šešios Abelio grupės, tarp kuriu̧ apibrėžtos operacijos: M ×N → Q, N ×P → R, Q×P → S, M ×R → S , t.y. ∀m ∈ M, n ∈ N, p ∈ P apibrėžta mn ∈ Q, (mn) p ∈ S, m (np) ∈ S .Tegu visos sandaugos yra distributyvios abieju̧ argumentu̧ atžvilgiu ir ∀m, n, p teisinga (mn) p = m (np) . Jeigu A_{1}, A_{2}, B, C yra matricos virš atitinkamai M, M, N, P ,tai (AB) C = A (BC) ir (A_{1} + A_{2}) B = A_{1}B + A_{2}B .

Be i̧rodymo.

1.1. Baziu̧ keitimo matrica, vektoriaus koordinatės.

Lema. Tegu v_{1}, ..., v_{n} tiesiškai nepriklausoma vektorinės erdvės (V, k) sistema, o A ir B matricos virš k , turinčios m stulpeliu̧ ir n eilučiu̧. Jeigu (v_{1}, ..., v_{n}) A = (v_{1}, ..., v_{n}) B , tai A = B.

I̧rodymas. Tegu C = A − B ir (v_{1}, ..., v_{n}) C = 0. Tada

(v_{1}, ..., v_{n}) C = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}c_{11} & ⋯ & c_{1n} \\ & ⋯ \\ c_{n1} & ⋯ & c_{nn} \end{matrix} ) =

= (∑_{s=1}^{n} v_{s}c_{s1}, ..., ∑_{s=1}^{n} v_{s}c_{sn}) = (0, ..., 0) ,

t.y. ∑_{s=1}^{n} v_{s}c_{sj} = 0 su visais j = 1, ..., n. Sistema v_{1}, ..., v_{n} tiesiškai nepriklausoma

, todėl c_{sj} = 0 su visais 1 ≤ s, j ≤ n .

I̧rodyta.

Tegu (V, k) - vektorinė erdvė ir dim V = n , o v_{1}, ..., v_{n} - V bazė. Jeigu v ∈ V ,

tai v = α_{1}v_{1}+⋯+α_{n}v_{n} = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) ir ( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) vadinamas koordinatiniu

stulpeliu.

Tegu v′_{1}, ..., v′_{n} kita V bazė. Tada

v′_{1} = c_{11}v_{1} + ⋯ + c_{n1}v_{n}

⋯

v′_{n} = c_{1n}v_{1} + ⋯ + c_{nn}v_{n}

(v′_{1}, ..., v′_{n}) = (v_{1}, ..., v_{n})·C , čia C = ( \begin{matrix}c_{11} & ⋯ & c_{1n} \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ c_{n1} & ⋯ & c_{nn} \end{matrix} ) vadinama vienos bazės

keitimo kita baze keitimo matrica.

Iš lemos turime, kad taip apibrėžta matrica C yra vienintėlė. Kaip keičiasi vektoriaus v koordinatinis stulpelis keičiantis bazei ?

v = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) = (v′_{1}, ..., v′_{n}) ( \begin{matrix}α′_{1} \\ ⋯ \\ α′_{n} \end{matrix} ) = [(v_{1}, ..., v_{n}) · C] ( \begin{matrix}α′_{1} \\ ⋯ \\ α′_{n} \end{matrix} ) =

(v_{1}, ..., v_{n}) · [C ( \begin{matrix}α′_{1} \\ ⋯ \\ α′_{n} \end{matrix} )].

Iš lemos turime, kad

( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ) = C· ( \begin{matrix}α′_{1} \\ ⋯ \\ α′_{n} \end{matrix} ) .

Teiginys. Keitimo matrica pasižymi šiomis sa̧vybėmis:

1. Bazės keitimo ta pačia baze keitimo matrica yra vienetinė.

2. Jeigu pirmosios bazės keitimo antra̧ja baze keitimo matrica yra C , o antrosios bazės keitimo trečia̧ja baze yra D , tai pirmosios bazės keitimo trečia̧ja baze matrica yra CD.

3. Keitimo matrica yra neišsigimusi matrica. I̧rodymas.1. (v_{1}, ..., v_{n}) C = (v_{1}, ..., v_{n}) I ⟹ C = I.

2. Tegu bazės v_{1}, ..., v_{n} keitimo baze v′_{1}, ..., v′_{n} matrica yra C, o bazės v′_{1}, ..., v′_{n} keitimo baze v1^{′′}, ..., vn^{′′} matrica yra D. Tada

(v′′_{1}, ..., v′′_{n}) = (v′_{1}, ..., v′_{1}) D = ((v_{1}, ..., v_{n}) C) D = (v_{1}, ..., v_{n}) CD.

3. Tada, kai v′′_{1} = v_{1}, ..., v′′_{n} = v_{n} iš 2. ir 1. teiginiu̧ turime CD = I ⟹ C = D^{−1}, taigi, matrica C− neišsigimusi.

1.2. Tiesinio atvaizdžio apibrėžimas, branduolys ir vaizdas.

Apibrėžimas. Tegu U ir V - vektorinės erdvės virš kūno k .

Funkcija A : U → V vadinama tiesiniu atvaizdžiu, jeigu

1. A (u_{1} + u_{2}) = A (u_{1}) + A (u_{2}) su visais u_{1}, u_{2} ∈ U .

2. A (αu) = αA (u) su visais α ∈ k ir u ∈ U . Pastaba dėl terminu̧.Tuo atveju, kai U = V, tiesini̧ atvaizdi̧ vadina tiesiniu

operatoriumi. Transformacijomis( tiesinėmis transformacijomis) vadina ir tiesinius atvaizdžius ir tiesinius operatorius tuo atveju kai iš konteksto aišku apie ka̧ kalbama.

Pavyzdžiai. 1.Trimatės erdvės judesiai : centrinė simetrija, ašinė simetrija, veidrodinė simetrija, lygiagretusis postūmis ,- yra tiesiniai trimatės erdvės atvaizdžiai.

2. Tegu R [0, 1] yra realiu̧ju̧ tolydžiu̧ju̧ funkciju̧ vektorinė erdvė. Funkcija A(f) = f (0) yra tiesinis atvaizdis.

3. Tegu R_{n} [x] polinomu̧, kuriu̧ laipsnis neviršija n , vektorinė erdvė. Diferencijavimo funkcija D (f) = f′ yra tiesinis atvaizdis.

Teiginys. Tiesinio atvaizdžio A : U → V savybės:

1. A (0) = 0.

2. Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra tiesiškai priklausoma U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra tiesiškai priklausoma V sistema.

3. Jeigu u_{1}, ..., u_{n} yra generuojanti U sistema, tai A (u_{1}) , ..., A (u_{n}) yra generuojanti A (U) sistema.

I̧rodyti paliekama studentams□

Apibrėžimai. Tiesinio atvaizdžio A : U → V branduoliu vadinama U aibė

ker A = {u ∈ U|Au = 0} .

Tiesinio atvaizdžio A : U → V vaizdu vadinama V aibė

imA = {v ∈ V |∃u ∈ U : Au = v} .

Jeigu ker A = 0 , tai A vadinamas injektyviuoju tiesiniu atvaizdžiu ( monomorfizmu).

Jeigu imA = V , tai A vadinamas siurektyviuoju tiesiniu atvaizdžiu ( epimorfizmu).

Jeigu ker A = 0 ir imA = V , tai A vadinamas bijektyviuoju tiesiniu atvaizdžiu ( izomorfizmu).

Examples.

1. Let P be the projection of R^{2} on a line L from R^{2}. Then the kernel of P is the set of all vectors in R^{2} which are perpendicular to L

and the image of P is the set of all vectors parallel to L. Indeed, the vectors which are perpendicular to L and only these vectors are annihilated by the projection. This proves the statement about the kernel. The projection on L of every vector is parallel to L (by the definition of projection) and conversely, every vector which is parallel to L is the projection of some vector from R^{2}, for example, it is the projection of itself. This proves the statement about the image.

2. Let R be the rotation of R^{2} through angle \frac{π}{3}; counterclockwise.

Then the kernel of R is 0 (no non-zero vectors are annihilated by the rotation). The image of the rotation is the whole R^{2}. Indeed, for every vector w in R^{2} let v be the vector obtained by rotating w through angle \frac{π}{3}; clockwise. Then w is the result of rotating v through \frac{π}{3} counterclockwise, thus w is in the range of our transformation. Since w was an arbitrary vector in R^{2}, the range of the rotation is the whole R^{2}.

3. Let RF be the reflection of R^{2} about a line L.

Then the kernel of RF is 0. Indeed, no non-zero vectors are annihilated by the reflection. The image is the whole R^{2} (prove it!).

4. Let Z be the zero transformation from V to W which takes every vector in V to the zero of W.

Then the kernel of Z is V and the image is 0 (prove it!).

5. Let D be the linear operator of the vector space of P [x] polynomials which takes every polynomial to its derivative.

Then the image of D is the whole P [x] (every polynomial is a derivative of another polynomial) and the kernel of D is the set of all constants (prove it!).

6. Let I be the linear operator on the space P [x] of polynomials which takes

every polynomial g(x) to the polynomial ∫_{0}^{x} g(t)dt . Then the image of I is the

set of all polynomials h(x) such that h(0) = 0 (every such polynomial is the image under I of its derivative) and the kernel of I is 0 (the only function with 0 anti-derivative is 0).

7. Let T be the linear transformation from the space of all n by n matrices M_{n×n} (R) to R which takes every matrix to its trace.

Then the image of T is the whole R(every number is the trace of some matrix) and the kernel consists of all n by n matrices with zero trace.

Theorem. Let A be a linear transformation from U to V..Then ker A is a subspace of U and imA is a subspace of V.

Proof. We need to prove that ker A is closed under addition and scalar multiplication. Let u_{1} and u_{2} be elements from ker A. Then A (u_{1}) = 0 and A (u_{2}) = 0 (the definition of a kernel). Hence A(u_{1}) + A(u_{2}) = 0 + 0 = 0. But A is a linear transformation, soA(u_{1}) + A(u_{2}) = A(u_{1} + u_{2}). Hence A(u_{1} + u_{2}) = 0 . By the definition of a kernel this implies that u_{1} + u_{2} is in ker A . Thus ker A is closed under taking sums.

Now let u be an element of ker A and let a be a number. Since u is in ker A, A(u) = 0. Then aA(u) = au = 0 (prove the last equality!). On the other hand, since A is a linear transformation, aA(u) = A(au) . So A(au) = 0, whence au is in ker A. This shows that ker A is closed under scalar multiplication.

The proof that imA is a subspace is left as an exercise.

Theorem. Every subspace of a vector space is a kernel of some linear transformation and the image of some other linear transformation.

I̧rodymas. Tegu U yra vektorinės erdvės V poerdvis ir vektoriu̧ sistema u_{1}, ..., u_{k} - poerdvio U bazė. Papildykime šia̧ sistema̧ iki vektorinės erdvės V bazės: u_{1}, ..., u_{k}, v_{k+1}, ..., v_{n}. Turime ,kad U = [u_{1}, ..., u_{k}] ir tiesinis apvalkalas [v_{k+1}, ..., v_{n}] poerdvio U tiesioginis papildinys: V = U ⊕ [v_{k+1}, ..., v_{n}] .

Tiesinius atvaizdius A, B : V → V apibrėžkime formulėmis

A (a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{k}u_{k} + a_{k+1}v_{k+1} + ⋯ a_{n}v_{n}) = a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{k}u_{k},

B (a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{k}u_{k} + a_{k+1}v_{k+1} + ⋯ a_{n}v_{n}) = a_{k+1}v_{k+1} + ⋯ a_{n}v_{n}.

Tada ker A = [v_{k+1}, ..., v_{n}] , imA = U ir ker B = U, imB = [v_{k+1}, ..., v_{n}] .

I̧rodyta.

Example. Let E be the subspace of R^{3} consisting of vectors which are parallel to a plane P. Then E is the kernel of the projection of R^{3} on the line perpendicular to the plane and E is the image of the projection on the plane P.

The theorem about kernel and images implies the following important property of homogeneous systems of linear equations.

Theorem. Let Av = 0 be a homogeneous systems of linear equations with n unknowns and m equations. Then the set of solutions of this system coincides with the kernel of the linear transformation A from R^{n} to R^{m} with standard matrix A and so it is a subspace of R^{n}.

Indeed the set of solutions of the system Av = 0 is precisely the set of vectors annihilated by the linear transformation A.

1.3. Izomorfizmu̧ teoremos.

Teorema apie izomorfizma̧. Tegu A : U → V − tiesinis atvaizdis. Poerdvis imA izomorfinis faktorerdvei U/ ker A .

I̧rodymas. Apibrėžkime funkcija̧ i : U/ ker A → imA formule i \binom{}{ū} = A (u) . Parodysime, kad tai ir yra ieškomas izomorfizmas.

Funkcija i yra tiesinis atvaizdis:

i (a_{1}ū_{1} + a_{2}ū_{2}) = i (\overline{a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}}) = A (a_{1}u_{1} + a_{2}u_{2}) = a_{1}A (u_{1}) + a_{2}A (u_{2}) =

a_{1}i \binom{}{ū_{1}} + a_{2}i \binom{}{ū_{2}} .

Tiesinis atvaizdis i yra monomorfizmas:

i \binom{}{ū} = 0 ⇔ A (u) = 0 ⇔ u ∈ ker A ⇔ ū = ¯0.

Tiesinis atvaizdis i yra epimorfizmas: su kiekvienu v ∈ imA egzistuoja u ∈ U, kad A (u) = v, t.y. i \binom{}{ū} = A (u) = v. I̧rodyta. Teorema apie izomorfizma̧ dažnai reiškiama tokia komutatyvia diagrama:

\begin{aligned}U & & ⟶^{A} & & V \\ & ↘^{p} & & ^{i} ↗ \\ & & U/ ker A \end{aligned} ,

čia p (u) = ū, i \binom{}{ū} = A (u) , taigi, A (u) = i (p (u)) . Pastaba. Paskutiniu̧ju̧ teoremu̧ dėka matome, kaip galėtume ma̧styti faktor-

erdvȩ. Kiekvienam vektorinės erdvės poerdviui galime apibrėžti tiesini̧ atvaizdi̧, kurio vaizdas yra šis poerdvis, o branduolys - poerdvio tiesioginys papildinys. Pagal teorema̧ apie izomorfizma̧ faktorerdvȩ galime ma̧styti kaip poerdvio tiesiogini̧ papildini̧.

Teorema. Vektorinė erdvė U, k ,dim U = n, yra izomorfinė aritmetinei erdvei k_{n} .

I̧rodymas.Tegu vektoriu̧ sistema v_{1}, ..., v_{n}− vektorinės erdvės U bazė. Apibrėžkime tiesini̧ atvaizdi̧ A : k_{n} → U formule

A ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) = (v_{1}, ..., v_{n}) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) .

imA = U, nes sistema v_{1}, ..., v_{n}− generuojanti erdvȩ U sistema. ker A = 0, nes sistema v_{1}, ..., v_{n}− tiesiškai nepriklausoma sistema. Gavome, kad U yra izomorfinė aritmetinei erdvei k_{n}. I̧rodyta. Pastaba. U ≈ k_{n}, bet šis izomorfizmas nėra kanoninis,- jis priklauso nuo baziu̧. Paskutinioji teorema rodo, kad baigtinės dimensijos vektorinȩ erdvȩ galima

reikšti aritmetinės erdvės elementais, t.y. stulpeliais: α_{1}u_{1}+⋯+α_{n}u_{n} → ( \begin{matrix}α_{1} \\ ⋯ \\ α_{n} \end{matrix} ).

1.4. Tiesinio atvaizdžio matricos.

Dabar parodysime kaip reikšti tiesini̧ atvaizdi̧ A : U → V . Tuo pačiu realizuosime šia̧ diagrama̧:

\begin{matrix}U & →^{A} & V \\ i_{U} ↓ & & ↓ i_{V} \\ k_{n} & →_{A} & k_{m} \end{matrix}

Tegu A : U → V - tiesinis atvaizdis, o u_{1}, ..., u_{n} U bazė, v_{1}, ..., v_{m} V bazė. Tada

Au_{1} = a_{11}v_{1} + ⋯ + a_{m1}v_{m}
⋮
Au_{n} = a_{1m}v_{1} + ⋯ + a_{mm}v_{m}

Matrica A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1m} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mm} \end{matrix} ) vadinama tiesinio atvaizdžio A matrica

duotu̧ matricu̧ atžvilgiu. Turime

A (u_{1}, ..., u_{n}) = (v_{1}, ..., v_{m}) A.

Matrica A apibrėžta vienareikšmiškai. Koks ryšys tarp vektoriaus ir jo tiesinio vaizdo koordinačiu̧?

Tegu Au = v , čia u = (u_{1}, ..., u_{n}) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) , v = (v_{1}, ..., v_{m}) ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{m} \end{matrix} ) .

Turime

A (u) = A ((u_{1}, ..., u_{n}) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} )) = (A (u_{1}, ..., u_{n})) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) =

= ((v_{1}, ..., v_{m}) A) ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) = (v_{1}, ..., v_{m}) (A ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} )) .

Tada ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{m} \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ) .

Kaip keičiasi tiesinio atvaizdžio matrica keičiantis vektoriniu̧ erdviu̧ matricoms?

Tegu C ir D baziu̧ keitimo matricos: (u′_{1}, ..., u′_{n}) = (u_{1}, ..., u_{n}) · C , (v′_{1}, ..., v′_{m}) = (v_{1}, ..., v_{m}) · D. Tada, jeigu A (u_{1}, ..., u_{n}) = (v_{1}, ..., v_{m}) A ir A (u′_{1}, ..., u′_{n}) = (v′_{1}, ..., v′_{m}) A′, tai

A′ = D^{−1}AC.

Pastaba. rankA′ = rankA. I̧rodymas.◇ Kaip parinkti bazes vektorinėse erdvėse U ir V , kad tiesinio atvaizdžio A

matrica A būtu̧ parasčiausia?

Teorema. Tegu A : U → V - tiesinis atvaizdis. Tada egzistuoja bazės vektorinėse erdvėse U ir V , kad tiesinio atvaizdžio A matrica A yra

A = ( \begin{matrix}I_{r} & 0_{r×n−r} \\ 0_{m−r×r} & 0_{m−r×n−r} \end{matrix} ) .

I̧rodymas.[................]

1.5. Veiksmai su tiesiniais atvaizdžiais.

Apibrėžimas. Tegu A, B : U → V - tiesiniai atvaizdžiai. Ju̧ suma vadiname funkcija̧ :

(A + B) (u) = A (u) + B (u) .

Teiginys. Tiesiniu̧ atvaizdžiu̧ suma - tiesinis atvaizdis. I̧rodymas.◇ Apibrėžimas. Tegu A : U → V - tiesinis atvaizdis, o α ∈ k. Tada αA :

U → V apibrėžiama

(αA) (u) = α (A (u)) .

Teiginys. Jeigu A - tiesinis atvaizdis, tai αA - tiesinis atvaizdis. I̧rodymas.◇ Apibrėžimas. Tegu A : V → W , B : U → V - tiesiniai atvaizdžiai. Šiu̧

tiesiniu̧ atvaizdžiu̧ sandauga AB : U → V vadinsime funkcija̧:

(AB) (u) = A (B (u)) .

Teiginys. AB - tiesinis atvaizdis. Uždavinys. Tegu U, V, W - trys vektorinės erdvės virš to pačio kūno k, o {u_{i}}

- bazė erdvėje U, {v_{j}} - bazė erdvėjeV, {w_{k}} - bazė erdvėje W. Tegu B, C : U → V , o A : V → W tiesiniai atvaizdžiai ir α ∈ k . Tegu B, Cyra tiesiniu̧ atvaizdžiu̧ B, C matricos bazėse {u_{i}} ir {v_{j}} , A - tiesinio atvaizdžio A matrica bazėse {v_{j}} ir {w_{k}}.

I̧rodykite, kad B + Cyra B + C matrica bazėse {u_{i}} , {v_{j}}; αB yra αB matrica bazėse {u_{i}} , {v_{j}}; AB yra AB matrica bazėse {u_{i}} , {w_{k}} .