Algebros pratybos informatikams. Rimantas Grigutis

4 pratybos. Dalumas polinomams. Hornerio schema.Polinomu̧ faktorizacija.

1. Duotas polinomas f (x) ∈ K [x] ir c ∈ K . Raskite polinoma̧ q (x) ∈ K[x] ir elementa̧ r ∈ K su kuriais teisinga lygybė

f (x) = (x − c) q (x) + r .

1) f (x) = 5x^{5} − 4x^{4} + 3x^{2} − 3 , K = Q , c = −2; \frac{3}{2} .

2) f (x) = x^{6} − 4x^{5} + 3x^{2} + 6x − 7 , K = Q , c = 2; −\frac{3}{2} .

3) f (x) = 2x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + x^{2} + 2 , K = Z_{3} , c = 1; 2 .

4) f (x) = 3x^{7} + 5x^{6} + 4x^{4} + 3x^{2} + 4x + 5 , K = Z_{7} , c = 2; 4 .

2. Raskite a, b, c, kad dalydami polinoma̧ f (x) = x^{3} +ax^{2} +bx+c iš x^{2} +x+1, gautume liekana̧ x + 1, o dalydami f (x) iš x − 1, gautume liekana̧ :

(a) 6; (b) 9; (c) 15; (d) 18.

3. Pasirinkite a ir b taip, kad polinomas f (x) = x^{5} + ax^{4} − 8x^{3} + 8x^{2} + bx + 16 dalytu̧si iš (x + 1)^{2} .

4. Raskite a, b, c, jei polinomui f (x) , −1 yra antro kartotinumo šaknis, o 1− paprastoji jo šaknis:

1) f (x) = ax^{2} + bx^{3} + x^{2} + cx − 3.

2) f (x) = x^{4} + ax^{3} + bx^{2} − 5x + c.

3) f (x) = x^{4} + 5x^{3} + ax^{2} + bx + c.

5. Raskite a, b, c, jeigu polinomas f (x) dalijasi iš (x + 1)^{5} (x − 5) :

1) f (x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} − 18x − 5.

2) f (x) = ax^{4} − 2x^{3} + bx^{2} + cx − 5.

3) f (x) = x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx − 5.

6. Dalydami f (x) dalijant iš x−1, gaunama liekana 2, o dalijant iš x−2, gaunama liekana 1. Kokia liekana gaunama dalijant polinoma̧ f (x) iš (x − 1) (x − 2)?

7. Dalydami f (x) dalijant iš x − 2, gaunama liekana 1, o dalijant iš x + 2, gaunama liekana −1, o dalijant iš x−3 - liekana 3. Kokia liekana gaunama dalijant polinoma̧ f (x) iš (x^{2} − 4) (x − 3)?

8. HORNERio schemos pagalba raskite racionalia̧sias polinomo šaknis.

1) f (x) = 5x^{5} − 7x^{4} − 6x^{3} − 5x^{2} + 7x + 6 .

2) f (x) = 3x^{4} − 4x^{3} + 10x^{2} − 33x + 10 .

3) f (x) = x^{4} + 5x^{3} + 8x^{2} − 2x − 12.

9. Išskaidykite polinoma̧ dvinario x − x_{0} laipsniais.

1) 2x^{4} + 3x^{3} − 6x + 2 , x_{0} = 1 .

2) x^{6} + 9x^{5} + 7x^{4} − 2x^{3} − 11x^{2} + 7x + 93 , x_{0} = −2 .

3) 2x^{7} + x^{5} − 3x^{3} + 4x − 7 , x_{0} = 2 .

4) 3x^{6} + 6x^{5} + x^{4} − 3x^{3} + 15x^{2} + 30x − 7 , x_{0} = −2 .

5) 6x^{5} − 4x^{4} + 3x^{2} + 5x + 7 , x_{0} = \frac{2}{3} .

6) x^{5} + 3x^{4} + 4x^{3} − 6x^{2} + 5x − 10 , x_{0} = −\frac{3}{2} .

10. Euklido algoritmo pagalba raskite didžiausia̧ bendra̧ dalikli̧ d (x) .Parašykite d (x) tiesinȩ išraiška̧.

1) d (x) =DBD(x^{8} − 1, x^{6} − 1) ∈ Q [x] .

2) d (x) =DBD(x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1, x^{3} − 1) ∈ Q [x] .

3) d (x) =DBD(2x^{4} − x^{3} + x^{2} + 3x + 1, 2x^{3} − 3x^{2} + 2x + 2) ∈ Q [x] .

4) d (x) =DBD(x^{7} + 2x^{5} + 2x^{2} − x + 2, x^{6} − 2x^{5} − x^{4} + x^{2} + 2x + 3) ∈ Q [x] .

5) d (x) =DBD(x^{7} + 1, x^{5} + x^{3} + x + 1) ∈ Z_{2} [x] .

6) d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] .

7) d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] .

8) d (x) =DBD(x^{8} + 2x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1, 2x^{6} + x^{5} + 2x^{3} + 2x^{2} + 2) ∈ Z_{3} [x] .

Polinomu̧ faktorizacija. Teorema(Redukcinis neredukuojamo polinomo požymis). Tegu p - pirminis skaičius. Tegu f (x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} ∈ Z [x] , a_{n} ≢ 0 (mod p) ir polinomo f redukcija f̄mod p yra neredukuojamas polinomas virš Z_{p}. Tada

polinomas f neredukuojamas virš Q.

Teorema(EISENSTEIN’o neredukuojamo polinomo požymis).Tegu p - pirminis skaičius, o

f (x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} ∈ Z [x] , a_{n} ≢ 0 (mod p) , a_{i} ≡ 0 (mod p) , kai i = 0, ..., n − 1, a_{0} ≢ 0 (mod p^{2}) . Tada f yra neredukuojamas virš Q.

1. Ar polinomai yra neredukuojami virš Q :

3x^{5} + 18x^{2} + 24x + 6;
7x^{3} + 12x^{2} + 3x + 45;
2x^{10} + 25x^{3} + 10x^{2} − 30.

2. Raskite polinomu̧ kanoninius skaidinius virš nurodytu̧ kūnu̧;

1) x^{5} − 10x^{4} + 24x^{3} + 9x^{2} − 33x − 12 virš Q;

2) x^{5} − 2x^{4} − 2x^{3} + 12x^{2} − 15x − 2 virš Q;

3) x^{6} + 2x^{5} − 12x^{4} − 24x^{3} + 36x^{2} + 60x − 24;

4) x^{6} + x^{5} − 12x^{4} − 12x^{3} + 36x^{2} + 24x − 12;

5) x^{4} + x virš Z_{5};

6) x^{3} + 2x^{2} + 3 virš Z_{5};

7) 2x^{3} + x^{2} + 2x + 2 virš Z_{5}.

3. Parašykite visus neredukuojamus 2-ojo ir 3-ojo laipsnio polinomus virš baigtiniu̧ kūnu̧ Z_{p} , p = 2, 3, 5.