Algebros pratybos. Rimantas Grigutis

2 pratybos. Lyginiai.

1. Nustatykite, kurie iš lyginiu̧ teisingi ∀n ∈ N :

1) n^{3} ≡ n(mod 3).

2) n^{3} + 3n ≡ 2(mod 5).

3) n^{4} ≡ 1(mod 5).

4) 2m^{3} − 3m^{2} = 1 (mod 10) .

2. I̧rodykite:

1) a − 5b ≡ 0(mod 19) ⟹ 10a + 7b ≡ 0(mod 19).

2) 3^{n} ≡ −1(mod 10) ⟹ 3^{n+4} ≡ −1(mod 10).

3) (m + n)^{p} ≡ m^{p} + n^{p}(mod p) , su pirminiu p ir su visais sveikaisiais m ir n .

3.Raskite skaičiaus N = (1^{2} + 1) (2^{2} + 1) (3^{2} + 1) ⋯ (1000^{2} + 1) dalybos iš 3 liekana̧.

4. Laipsnio a^{n} (mod m) skaičiavimas, užrašant laipsnio rodikli̧ n =∑_{i} α_{i}2^{i} .

Apskaičiuokite

1) 7^{39}(mod 41).

2) 22^{144} (mod 73) .

3) 233^{451} (mod 23) .

4) 214^{243} (mod 21) .

5. Išsprȩskite lyginius.

1) 12x ≡ 5 (mod 5) .

2) 11x ≡ 10 (mod 16) .

3) 13x ≡ 65 (mod 78) .

4) 8x ≡ 12 (mod 20) .

5) 91x ≡ 21 (mod 56) .

6) 18x ≡ 16 (mod 22) .

7) 33x ≡ 9 (mod 39) .

8) 52x ≡ 28 (mod 60) .

9) 74x ≡ 32 (mod 94) .

10) 34 ≡ 24 (mod 38) .

11) 60x ≡ 33 (mod 84) .

12) 69x ≡ 33 (mod 84)

13) 54x ≡ 26 (mod 62) .

6. Dalumo požymiai.Tegu n = (a_{k}a_{k−1}...a_{2}a_{1}a_{0})_{10} = a_{k}10^{k} + ⋯ + a_{0}.

Q_{s} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) ,

tada n = ∑_{i=0}^{∞} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) · 10^{is}

Qs^{′} (n) = ∑_{i=0}^{∞} (−1)^{i} (a_{is+s−1}...a_{is+1}a_{is}) .

1) I̧rodyti: Su visais n ∈ N, s ∈ N teisinga n ≡ Q_{s} (n) (mod 10^{s} − 1) ,

n ≡ Qs^{′} (n) (mod 10^{s} + 1) .

2) Raskite dalumo požymius iš

i) 9,99,999; 11,101,1001. ii) 7,13,37. iii) 17,19.

Grupės.

7. 1) Parašykite sudėties ir daugybos lenteles žieduose Z_{7}, Z_{8}, Z_{9}, Z_{11}, Z_{12} , Z_{13}.

2) Išsprȩskite lygtis x^{2} = 1 ir x^{2} = −1 minėtuose žieduose.

8. Su kuriais a ∈ Z_{100} teisinga: a^{40} = ¯1 .