1. ANTROS EILĖS PAVIRŠIAI.

2-os eilės paviršiaus lygtis yra

P (x_{1}, ..., x_{n}) = f_{2} (x_{1}, ..., x_{n}) + f_{1} (x_{1}, ..., x_{n}) + d = 0 ,

čia f_{2} - kvadratinė forma, of_{1} - tiesinė forma, d- realusis skaičius. Taigi, 2-os eilės paviršiaus lygti̧ galima užrašyti ir taip:

X^{T} AX + 2BX + d = 0 ,

čia A - \underline{kvadratinės formos matrica} (simetrinė), B - tiesinės formos \underline{eilutė}. Mūsu̧ tikslas - gauti kanonini̧ 2-os eilės paviršiaus lygties pavidala̧. Galimi šie kintamu̧ju̧ keitiniai:

1) Koordinačiu̧ pradžios perkėlimas: X = Y + ( \begin{matrix}a_{1} \\ ⋯ \\ a_{n} \end{matrix} ).

2) Koordinačiu̧ sistemos posūkis apie koordinačiu̧ pradžia̧: X = CY , čia C -ortogonalioji matrica.

Taigi, leistinas keitinys yra

X = CY + F ,

čia C - \underline{ortogonalioji matrica}, o F - \underline{stulpelis}. Tada, P = (CY + F)^{T} A (CY + F) + 2B (CY + F) + d = 0. P = (Y^{T} C^{T} + F^{T} ) A (CY + F) + 2B (CY + F) + d = 0.

P = Y^{T} (C^{T} AC) Y + F^{T} ACY + Y^{T} C^{T} AF + 2BCY + F^{T} AF + 2BF + d = 0. Turime, kad realusis skaičius Y^{T} C^{T} AF = (Y^{T} C^{T} AF )^{T} = F^{T} ACY. Pažymėjȩ d_{1} = F^{T} AF + 2BF + d , turėsime P = Y^{T} (C^{T} AC) Y + 2 (F^{T} A + B) CY + d_{1} = 0. 2-osios eilės paviršius vadinamas centriniu, jeigu jo lygtyje galima panaikinti

tiesinȩ dali̧, t.y.egzistuoja F - stulpelis, C - ortogonalioji matrica, kad (F^{T} A + B) C = 0 ⟺ F^{T} A + B = 0 ⟺ F^{T} A = −B. Paskutinioji lygybė - tai tiesinu̧ lygčiu̧ sistema, kurios matrica yra A. Taigi,

centrinio paviršiaus kriterijus yra rankA = rank( \underline{A} ; B ) .

Centriniai paviršiai. Dabar nagrinėkime centrini̧ paviršiu̧, t.y. egzituoja toks leistinas keitinys X =

CY + F, kad F^{T} A + B = 0.

Beto, ortogonalia̧ja̧ matrica̧ C galima parinkti taip, kad C^{T} AC = [λ_{1}, …, λ_{n}]

- diagonalinė matrica( teorema 5). Gauname centrinio 2-osios eilės paviršiaus lygti̧ P (y_{1}, ..., y_{n}) = λ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2} + d_{1} = 0. Galimi šie atvejai.

1) d_{1} ≠ 0. λ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2} + d_{1} = 0; λ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + λ_{n}y_{n}^{2} = −d_{1}; μ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + μ_{n}y_{n}^{2} = 1,

čia μ_{i} = \frac{λ_{i}}{−d_{1}} .

Tegu μ_{1}, ..., μ_{r} > 0, μ_{r+1}, ..., μ_{s} < 0, μ_{s+1}, ..., μ_{n} = 0 .

Pažymėkime a_{i} = \sqrt{\frac{1}{|μ_{i}|}}, i = 1, ..., s. Tada turėsime paviršiaus lygti̧:

\frac{y_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{y_{r}^{2}}{a_{r}^{2}} − \frac{y_{r+1}^{2}}{a_{r+1}^{2}} − ⋯ − \frac{y_{s}^{2}}{a_{s}^{2}} = 1

. Jeigu s = n , tai, kai 1.1) r = n - tai paviršius vadinamas elipsoidu. 1.2) 1 ≤ r < n - tai paviršius vadinamas hiperboloidu. 1.3) r = 0- tai turime ∅.

2) d_{1} = 0.

\frac{y_{1}^{2}}{a_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{y_{r}^{2}}{a_{r}^{2}} − \frac{y_{r+1}^{2}}{a_{r+1}^{2}} − ⋯ − \frac{y_{s}^{2}}{a_{s}^{2}} = 0

. Kai r ≥ \frac{s}{2} , paviršius vadinamas kūgiu. Dažniausiai nagrinėjami pilnieji kūgiai,

kuriems s = n, r = [\frac{n + 1}{2}] , ..., n.

Necentriniai paviršiai. P = Y^{T} (C^{T} AC) Y + (2F^{T} A + B) CY + d_{1} = 0;

Pažymėjȩ B_{1} = (2F^{T} A + B) C , turėsime

P = Y^{T} (C^{T} AC) Y + B_{1}Y + d_{1} = 0.

Galime rasti tokia̧ ortogonalia̧ja̧ matrica̧ C, kad C^{T} AC = [λ_{1}, …, λ_{n}] - diagonalinė matrica( teorema 5). Beto, tegu λ_{1}, …, λ_{r} > 0, λ_{r+1}, …, λ_{s} < 0. Kadangi F^{T} A + B ≠ 0 , t.y. matricaA yra išsigimusi, turime, kad s < n.

Taigi, gauname paviršiaus lygti̧: λ_{1}y_{1}^{2} + ⋯ + λ_{r}y_{r}^{2} + λ_{r+1}y_{r+1}^{2} + ⋯ + λ_{s}y_{s}^{2} + b′_{1}y_{1} + ⋯ + b′_{n}y_{n} + d_{1} = 0. Atlikime kintamu̧ju̧ keitini̧:

y_{1} = z_{1} − \frac{b_{1}}{2λ_{1}}

⋯

y_{s} = z_{s} − \frac{b_{s}}{2λ_{s}}

y_{s+1} = z_{s+1}

⋯ y_{n} = z_{n}.

Gausime λ_{1}z_{1}^{2} + ⋯ + λ_{s}z_{s}^{2} + b_{s+1}z_{s+1} + ⋯ + b_{n}z_{n} + d_{2} = 0. Iš likusiu̧ pirmu̧ju̧ laipsniu̧ paliksime viena̧. Pažymėkime b = b_{s+1}^{2}+⋯+b_{n}^{2} > 0. Tada, paskutinia̧ja̧ lygybȩ palijȩ iš \sqrt{b} , turėsime μ_{1}z_{1}^{2} + ⋯ + μ_{s}z_{s}^{2} + c_{s+1}z_{s+1} + ⋯ + c_{n}z_{n} + d_{3} = 0,

čia μ_{i} = \frac{λ_{i}}{\sqrt{b}}, c_{j} = \frac{b_{i}}{\sqrt{b}} ir c_{s+1}^{2} + ⋯ + c_{n}^{2} = 1.

Papildykime normuota̧ stulpeli̧ ( \begin{matrix}c_{s+1} \\ ⋯ \\ c_{n} \end{matrix} ) iki ortogonaliosios matricos D ir at-

likime kintamu̧ju̧ keitini̧:

( \begin{matrix}z_{1} \\ ⋯ \\ z_{s} \\ z_{s+1} \\ ⋯ \\ z_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}I_{s} & 0 \\ 0 & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u_{1} \\ ⋯ \\ u_{s} \\ u_{s+1} \\ ⋯ \\ u_{n} \end{matrix} ) .

( \begin{matrix}I_{s} & 0 \\ 0 & D \end{matrix} )^{−1} · ( \begin{matrix}z_{1} \\ ⋯ \\ z_{s} \\ z_{s+1} \\ ⋯ \\ z_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{1} \\ ⋯ \\ u_{s} \\ u_{s+1} \\ ⋯ \\ u_{n} \end{matrix} ) .

( \begin{matrix}I_{s} & 0 \\ 0 & D \end{matrix} )^{T} · ( \begin{matrix}z_{1} \\ ⋯ \\ z_{s} \\ z_{s+1} \\ ⋯ \\ z_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{1} \\ ⋯ \\ u_{s} \\ u_{s+1} \\ ⋯ \\ u_{n} \end{matrix} ) ,

taigi

u_{1} = z_{1}
⋯
u_{s} = z_{s}
u_{s+1} = c_{s+1}z_{s+1} + ⋯ + c_{n}z_{n}
⋯

ir μ_{1}u_{1}^{2} + ⋯ + μ_{s}u_{s}^{2} + u_{s+1} + d_{3} = 0. Atliksime paskutini̧ kintamu̧ju̧ keitini̧

\begin{matrix}u_{1} = v_{1} \\ ⋯ \\ u_{s} = v_{s} \\ u_{s+1} = −v_{s+1} − d_{3} \end{matrix} .

Gauname kanonini̧ necentrinio paviršiaus lygties pavidala̧:

v_{s+1} = \frac{v_{1}^{2}}{2p_{1}} + ⋯ + \frac{v_{r}^{2}}{2p_{r}} − \frac{v_{r+1}^{2}}{2p_{r+1}} − ⋯ − \frac{v_{s}^{2}}{2p_{s}}

,

čia |μ_{i}| = \frac{1}{2p_{i}} , r > 0, s + 1 ≤ n.

Kai s + 1 = n paviršius vadinamas paraboloidu. Kai r = s = n − 1 paviršius vadinamas elipsiniu paraboloidu. Kai r < s paviršius vadinamas hiperboliniu paraboloidu. Panagrinėkime centrinius ir necentrinius paviršius , kai n = 1, 2, 3.

1) \underline{n = 1.} Centriniai paviršiai. r ≤ s, s > 0.

Kai r = 1 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : du taškai tiesėje.

Kai r = 0 , tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : ∅.

\underline{Necentriniu̧ paviršiu̧} nėra, nes būtinai turi būti s < n.

2) \underline{n = 2.} Centriniai paviršiai. Kai s = 1, r = 1 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : dvi lygiagrečios tiesės.

Kai s = 1, r = 0 , tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : ∅.

Kai s = 2, r = 2 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : elipsė; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : taškas. Kai s = 2, r = 1 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : hiperbolė; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : dvi susikertančios tiesės. Kai s = 2, r = 0. ,

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : ∅.

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : taškas. Necentriniai paviršiai. Kai s = r = 1, tai y = \frac{x^{2}}{2p} : parabolė.

3) n = 3. \underline{Centriniai paviršiai}. Kai s = 1, r = 1 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : dvi lygiagrečios plokštumos; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} = 0 : viena plokštuma. Kai s = 1, r = 0 ,

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 : ∅.

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} = 0 : viena plokštuma. Kai s = 2, r = 2 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1: elipsinis cilindras; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : viena tiesė. Kai s = 2, r = 1 , tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : hiperbolinis cilindras; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : dvi susikertančios plokštumos. Kai s = 2, r = 0. ,

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : ∅.

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0 : viena tiesė. Kai s = 3, r = 3, tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 : elipsoidas; tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 : taškas. Kai s = 3, r = 2, tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 : vienašakis hiperboloidas;

tai \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 : kūgis.

Kai s = 3, r = 1, tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 : dvišakis hiperboloidas;

tai \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 : kūgis.

Kai s = 3, r = 0,

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 : ∅;

tai -\frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0 : taškas.

Necentriniai paviršiai. Kai s = r = 1, tai y = \frac{x^{2}}{2p} : parabolinis cilindras. Kai s = 2, r = 2, tai z = \frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q} : elipsinis paraboloidas.

Kai s = 2, r = 1,

tai z = \frac{x^{2}}{2p} − \frac{y^{2}}{2q} : hiperbolinis paraboloidas.

Pavyzdys 1. Raskite lygties P (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 4x_{2}x_{3} + 12x_{1} − 8x_{2} + 8x_{3} + 6 = 0 kanonini̧ pavidala̧. Kokio paviršiaus ši lygtis?

P = X^{T} ( \begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ) X + 2 (6, −4, 4) X + 6 = 0.

Tai centrinio paviršiaus lygtis, nes sistema AF = −B^{T} turi sprendini̧:

( \begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−6 \\ 4 \\ −4 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) .

Atliekame kintamu̧ju̧ keitini̧ X = Y + ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) :

P = 2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} − 4y_{1}y_{2} − 4y_{2}y_{3} − 8 = 0.

P = Y^{T} ( \begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ) Y − 8 = 0

Atliekame ortogonalu̧ji̧ kintamu̧ju̧ keitini̧ Y = \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & 2 & 1 \\ −2 & 1 & 2 \\ 1 & −2 & 2 \end{matrix} ) Z

\frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & 2 & 1 \\ −2 & 1 & 2 \\ 1 & −2 & 2 \end{matrix} )^{T} ( \begin{matrix}2 & −2 & 0 \\ −2 & 1 & −2 \\ 0 & −2 & 0 \end{matrix} ) \frac{1}{3} ( \begin{matrix}2 & 2 & 1 \\ −2 & 1 & 2 \\ 1 & −2 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} )

P = 4z_{1}^{2} + z_{2}^{2} − 2z_{3}^{2} − 8 = 0

P = Z^{T} ( \begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ) Z − 8 = 0

\frac{z_{1}^{2}}{2} + \frac{z_{2}^{2}}{8} − \frac{z_{3}^{2}}{4} = 1 - vienašakis hiperboloidas. Pavyzdys 2. Raskite lygties P (x_{1}, x_{2}, x_{3}) =2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 10x_{2} + 1 = 0 kanonini̧ pavidala̧. Kokio paviršiaus ši lygtis?

Tai necentrinio paviršiaus lygtis, nes sistema AF = −B^{T} neturi sprendinio. Atliekame ortogonalu̧ji̧ keitini̧:

X = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & −\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \end{matrix} ) Y

ir gauname lygti̧ P = 5y_{1}^{2} + 2y_{2}^{2} + 10 (\frac{1}{\sqrt{3}}y_{1} + \frac{1}{\sqrt{6}}y_{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}y_{3}) + 1 = 0

P = Y^{T} ( \begin{matrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) Y + 10 (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{2}}y_{3}) Y = 0.

Atliekame kintamu̧ju̧ keitini̧

Y = Z + ( \begin{matrix}−\frac{1}{\sqrt{3}} \\ −\frac{5}{2\sqrt{6}} \\ −\frac{11\sqrt{2}}{40} \end{matrix} )

tam ,kad panaikinti narius su y_{1} ir y_{2} ir laisva̧ji̧ nari̧. Gauname lygti̧ 5z_{1}^{2} + 2z_{2}^{2} = 5\sqrt{2}z_{3} - tai elipsinio paraboloido lygtis.