2.ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS NR.2 (1998.12.18)

1.1. Išsprȩskite kvadratinȩ lygti̧ :

x^{2} − (3 − i) x + 4 − 3i = 0 .

1.2. Išsprȩskite kvadratinȩ lygti̧ :

x^{2} − (3 + i) x + 8 − i = 0 .

2.1. Faktorizuokite polinoma̧ f (x) = x^{9} − 1 virš R. 2.2. Faktorizuokite polinoma̧ f (x) = x^{8} − 1 virš R. 3.1. I̧dėkite rombo simetriju̧ grupȩ i̧ S_{n}. 3.2. I̧dėkite stačiakampio simetriju̧ grupȩ i̧ S_{n}. 4.1. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determi-

nantus, jei b_{ij} = 2^{i−j}a_{ij} .

4.2. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = a_{n+1−i,j} .

5.1. Raskite polinomu̧ su realiaisiais koeficientais, kuriu̧ laipsnis neviršija n, vektorinės erdvės M_{n} (R) poerdvio

U = {f (x) ∈ M_{n} (R) |f(2) = f (1) = 0} dimensija̧ ir bazȩ . 5.2. Raskite polinomu̧ su realiaisiais koeficientais, kuriu̧ laipsnis neviršija n,

vektorinės erdvės M_{n} (R) poerdvio U = {f (x) ∈ M_{n} (R) |f(0) = f (3) = 0} dimensija̧ ir bazȩ . 6.1. Kokia plokštumu̧ P_{1} = x_{1} +L_{1} ir P_{2} = x_{2} +L_{2} padėtis 5-atėje aritmetinėje

erdvėje R^{5}, kai

x_{1} = (1, −2, 3, 1, 4) , L_{1} = [e_{1} + αe_{2} + e_{3}, e_{2} − e_{3} + αe_{4}, e_{1} + e_{2} + αe_{3} − e_{4}] , L_{1} = [e_{1} + βe_{2} + e_{4}, e_{1} − e_{3} + βe_{4}, e_{1} − e_{2} + βe_{3} − e_{4}] , α = 1, β = −1.

6.2. Kokia plokštumu̧ P_{1} = x_{1} +L_{1} ir P_{2} = x_{2} +L_{2} padėtis 5-atėje aritmetinėje erdvėje R^{5}, kai

x_{1} = (2, −1, 1, 3, 4) , L_{1} = [e_{1} + αe_{2} + e_{3}, e_{2} − e_{3} + αe_{4}, e_{1} + e_{2} + αe_{3} − e_{4}] , L_{1} = [e_{1} + βe_{2} + e_{4}, e_{1} − e_{3} + βe_{4}, e_{1} − e_{2} + βe_{3} − e_{4}] , α = −1, β = 1.

7.1. Kas atsitiks su kvadratine matrica A, padauginus ja̧ iš kairės iš elementariu̧ju̧ matricu̧ P_{ij}, D_{i}, L_{ij}. Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.

7.2. Kas atsitiks su kvadratine matrica A, padauginus ja̧ iš dešinės iš elementariu̧ju̧ matricu̧ P_{ij}, D_{i}, L_{ij}. Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.