ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS 2, 2001 05 08, Rimantas Grigutis 1.1. I̧rodykite, kad aritmetinės erdvės R^{4} vektoriu̧ sistema u_{1} = (2, 1, 0, 1) ; u_{2} =

(1, −2, 1, 3) ; u_{3} = (3, 4, −1, 2) yra tiesiškai nepriklausoma ir apskaičiuokite šiu̧ vektoriu̧ tiesinȩ kombinacija̧ u = 2u_{1} − 5u_{2} + 4u_{3}.

1.2. Raskite vektoriu̧ (1, 4, −7, 3) ; (−3, 10, −9, −7) ; (2, −3, 1, 5) ; (0, 11, −15, 1) tiesinio apvalkalo bazȩ ir dimensija̧,

1.3. Papildykite sistema̧ (0, 0, 1, 1, 1) , (1, 2, 1, 2, 0) iki bazės aritmetinėje erdvėje virš GF (3);

1.4. Raskite aritmetinės erdvės R^{3} bazės (1, 2, 1) , (−2, 3, 2) , (3, 2, −1) keitimo baze (3, −1, −1) , (0, −1, −4) , (5, 5, −3) matrica̧.

2.1 Ne aukštesnio kaip 5-ojo laipsnio polinomu̧ erdvėje R_{5}[t] raskite polinomo f (t) = t^{5}−t^{4}+t^{3}−t^{2}−t+1 koordinates bazėse 1+t^{3}, t+t^{3}, t^{2}+t^{3}, t^{3}, t^{4}+t^{3}, t^{5}+t^{3}.

2.2. Tegu S yra begaliniu̧ seku̧ x = (a_{1}, a_{2}, …) vektorinȩ erdvė ir F ⊂ S , a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2}, k = 3, 4, ... . Raskite dim F .Raskite F baze.

2.3.V ⊂ R^{n} : (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ V ⟺ a_{1} + ⋯ + a_{n} = 0. Raskite dim V ir V bazȩ 2.4. Raskite tiesinȩ homogeninȩ lygčiu̧ sistema̧, kurios fundamentalioji spren-

diniu̧ sistema yra: (2, 1, 0, 1) , (1, −2, 1, 3) , (3, 4, −1, 2)

3.1. Raskite poerdviu̧ ⟨(1, −1, 0, 2) , (2, 3, 1, 4) , (0, 5, 1, 0)⟩ ir ⟨(2, 8, 2, 4) , (5, 5, 2, 10) , (3, −3, 0, 6)⟩ sumos ir sankirtos dimensijas ir bazes. 3.2. Kokia plokštumos P = (1, 0, 0, 1)+[(5, 2, −3, 1) , (4, 1, −1, 0) , (−1, 2, −5, 3)]

ir tiesės x = (3, 0, −4, 1) + t (−1, 1, 2, 1) padėtis?

3.3.Atlikite plokštumu̧ x_{1} + P ir x_{2} + Q klasifikacija̧ erdvėje R^{5}. 3.4. Raskite nehomogeninȩ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧, kurios sprendiniu̧ aibė yra

plokštuma (4, 1, 10, −3, 5) + [(2, 1, 3, 0, 1) , (3, −3, 3, 1, −5)] .

4.1. Apskaičiuokite gretasienio tūri̧, kai kraštinės lygios:

(0, 1, 0, 3, 4) (1, 0, 0, 2, 5) (0, 0, 1, 4,)

4.2. Neorentuotam grafui •^{1} − •^{2} − •^{|}^{•}_{3}^{4} − •^{5} − •^{6} − •^{7} − •^{8}, kurio viršūnės

v_{1}, ..., v_{8}, priskiriame kvadratinȩ forma̧ F = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} , čia a_{ij} = 2, jeigu

i = j; a_{ij} = −1,jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} sujungtos; a_{ij} = 0,jeigu viršūnės v_{i} ir v_{j} nesujungtos.I̧rodykite, kad kvadratinė forma F yra teigiamai apibrėžta.

4.3. Papildykite vektoriu̧ sistema̧ \frac{1}{3} (2, 1, 2) ; \frac{1}{3} (1, 2, −2) iki aritmetinės erdvės R^{3} ortonormuotosios bazės:

4.4. Apskaičiuokite atstuma̧ tarp vektoriaus (−3, 15, 1, −5) ir poerdvio ⟨(2, 3, −4, −6) , (1, 8, −2, −16) , (1, −5, −2, 10)⟩.