ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS 1, Rimantas Grigutis, 2001 03 20 Uždaviniai suskirstyti temomis(tai nurodo pirmasis uždavinio numerio skaičius).

Uždavinio vertȩ nurodo antrasis numerio skaičius(1=7 t.; 2=8 t.; 3=9 t.; 4=10 t.). Vertinamas tik vienas temos uždavinys, kuri̧ vertinimui apibraukdami pasirenkate patys( jei temos uždavinys neapibrauktas arba apibraukti du temos uždaviniai, tai tema vertinama 0). Atsakymus rašyti būtina. Sprendimus pagri̧sti skaičiavimais ir(arba) samprotavimais. Kiekviena̧ uždavini̧ sprȩskite atskirame lape.

1.1.FERMAT faktorizacijos procesas: 160477 1.2. I̧rodykite :3^{3} − 3^{6} + 3^{9} − ⋯ − 3^{6n} dalijasi iš 13 su visiais n ∈ N. 1.3. Apskaičiuokite: BDD(23581, 75217) 1.4. I̧rodykite, kad šešiaženklis skaičius abcabc yra dalus iš 11. 2.1. Apskaičiuokite: 13^{9999} (mod 1000) .

2.2. Išsprȩskite lyginiu̧ sistema̧:\{ \begin{matrix}3x ≡ 2 (mod 11) \\ 5x ≡ 3 (mod 13) \\ 7x ≡ 1 (mod 15) \end{matrix} .

2.3. I̧rodykite: (m + n)^{p} ≡ m^{p} + n^{p}(mod p) , su pirminiu p ir m , n ∈ Z . 2.4. Ar primityviu̧ju̧ klasiu̧ multiplikaciniu̧ grupė U_{n} , n = 8 , yra ciklinė. 3.1 Raskite a, b, c, kad dalydami polinoma̧ f (x) = x^{3}+ax^{2}+bx+c iš x^{2}+x+1,

gautume liekana̧ x + 1, o dalydami f (x) iš x − 1, gautume liekana̧ : 18.

3.2. Dalydami f (x) dalijant iš x − 2, gaunama liekana 1, o dalijant iš x + 2, gaunama liekana −1, o dalijant iš x−3 - liekana 3. Kokia liekana gaunama dalijant polinoma̧ f (x) iš (x^{2} − 4) (x − 3)?

3.3. Raskite racionalia̧sias polinomo f (x) = 2x^{4} + 5x^{3} + 7x^{2} + 7x − 6 šaknis. 3.4. Raskite x^{5} − 10x^{4} + 24x^{3} + 9x^{2} − 33x − 12 kanonini̧ skaidini̧ virš Q. 4.1. Raskite d (x) =DBD(x^{5} + x^{3} + 1, x^{6} + x^{5} + x^{4} + 1) ∈ Z_{2} [x] tiesinȩ išraiška̧. 4.2. Parodykite, kad visi nenuliniai kūno Z_{3} [x] / (x^{2} + x + 2) elementai yra

elemento [x + 1] laipsniai.

4.3. Atlikite bekvadratȩ polinomo 2x^{5}+3x^{4}+12x^{3}+5x^{2}+12x−9 faktorizacija̧.

4.4. Atlikite veiksmus faktoržiede Q [x] / (m (x)) :\frac{x^{2} + 2}{x − 3} , m (x) = x^{3} + x + 1 .

5.1. Atlikite veiksmus :2) \frac{(2 − 3i)^{3} + (4 − i)^{3}}{(1 − i)^{2}} .

5.2. (2 + i) x^{2} − (5 − i) x + (2 − 2i) = 0 . 5.3. Faktorizuokite polinoma̧ x^{11} − 1 virš R.

5.4.log\sqrt{3} \frac{|z − 3i|^{2} − |z − 3i| + 1}{2 + |z − 3i|} < 2.

ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS 1, Rimantas Grigutis, 2001 03 20 Uždaviniai suskirstyti temomis(tai nurodo pirmasis uždavinio numerio skaičius).

Uždavinio vertȩ nurodo antrasis numerio skaičius(1=7 t.; 2=8 t.; 3=9 t.; 4=10 t.).Vertinamas tik vienas temos uždavinys, kuri̧ vertinimui apibraukdami pasirenkate patys( jei temos uždavinys neapibrauktas arba apibraukti du temos uždaviniai, tai tema vertinama 0). Atsakymus rašyti būtina. Sprendimus pagri̧sti skaičiavimais ir(arba) samprotavimais. Kiekviena̧ uždavini̧ sprȩskite atskirame lape.

1.1.FERMAT faktorizacijos procesas: 193519 1.2. I̧rodyti, kad f_{5m} , m ≥ 1 , dalijasi is 5.( f_{0} = 0, f_{1} = 1, f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2}). 1.3. Apskaičiuokite: BDD(25581, 75317). 1.4. I̧rodykite, kad šešiaženklis skaičius abcabc yra dalus iš 13. 2.1. Apskaičiuokite: 11^{9999} (mod 1000) .

2.2. Išsprȩskite lyginiu̧ sistema̧:\{ \begin{matrix}3x ≡ 2 (mod 11) \\ 5x ≡ 1 (mod 13) \\ 7x ≡ 3 (mod 15) \end{matrix} .

2.3 I̧rodykite: (m + n)^{p} ≡ m^{p} + n^{p}(mod p) , su pirminiu p ir m , n ∈ Z . 2.4. Ar primityviu̧ju̧ klasiu̧ multiplikaciniu̧ grupė U_{n} , n = 12 , yra ciklinė. 3.1. Raskite a, b, c, jei polinomui f (x) = x^{4} + 5x^{3} + ax^{2} + bx + c, −1 yra antro

kartotinumo šaknis, o 1− paprastoji jo šaknis.

3.2. Dalydami f (x) dalijant iš x − 2, gaunama liekana 1, o dalijant iš x + 2, gaunama liekana −1, o dalijant iš x−3 - liekana 3. Kokia liekana gaunama dalijant polinoma̧ f (x) iš (x^{2} − 4) (x − 3)?

3.3. Raskite racionalia̧sias polinomo f (x) = 2x^{4} − x^{3} + x^{2} − 11x − 6 šaknis. 3.4. Raskite x^{5} − 10x^{4} + 24x^{3} + 9x^{2} − 33x − 12 kanonini̧ skaidini̧ virš Q. 4.1. Raskite d (x) =DBD(x^{5} + x + 1, x^{6} + x^{5} + x^{3} + 1) ∈ Z_{2} [x] tiesinȩ išraiška̧. 4.2. Parodykite, kad ne visi nenuliniai kūno Z_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 2) elementai

yra elemento [x] laipsniai.

4.3. Atlikite bekvadratȩ polinomo 2x^{5}+3x^{4}−12x^{3}−7x^{2}+24x−9 faktorizacija̧.

4.4. Atlikite veiksmus faktoržiede Q [x] / (m (x)) :\frac{x^{2} + 2}{x − 5} , m (x) = x^{3} + x + 1 .

5.1. Atlikite veiksmus :\frac{(2 + i)^{3} + (4 − 3i)^{3}}{(1 + i)^{2}} .

5.2. (−3 + 4i) x^{2} − 3 (1 + 2i) x + 3 − i = 0 . 5.3. Faktorizuokite polinoma̧ x^{7} + 1 virš R.

5.4. log_{\frac{1}{3}} \frac{|z + i|^{2} + |z + i| + 39}{1 + 2 |z + i|} > −2 .