ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS 2-1(1) 2000.04.05

1.1. Atlikite dvieju̧ plokštumu̧ T_{1} = x_{1} + P ir T_{2} = x_{2} + Q , čia dim P = dim Q = 2 padėčiu̧ erdvėje R^{5} klasifikacija̧. Klasifikacija̧ atlikite mažiausios plokštumos, kurioje yra ir x_{1} + P, ir x_{2} + Q, dimensijos ir poerdviu̧ sankirtos P ∩ Q atžvilgiu.

1.2.. Kokia plokštumu̧ P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} , P = y_{0} + t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} padėtis?

\begin{matrix}x_{0} = & (3, 1, 2, 0, 1) \\ y_{0} = & (1, 0, 1, 1, 0) \\ u_{1} = & (2, −6, 3, 1, −6) \\ u_{2} = & (−1, 1, −1, 0, 1) \\ v_{1} = & (0, 5, −2, −1, 6) \\ v_{2} = & (−1, 3, −1, −1, 2) \end{matrix}

2. Raskite 2-osios eilės kreivės x^{2} − 4xy + 4y^{2} + 5y − 9 = 0

1) kanonini̧ pavidala̧ ;

2) kintamu̧ju̧ keitini̧, kurio pagalba gaunate kanonini̧ pavidala̧;

3) nustatykite kokia tai kreivė.

4) nubrėžkite grafika̧.

3. Duota simetrinė matrica A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}1 & 16 & −2 \\ 16 & −5 & −14 \\ −2 & −14 & −14 \end{matrix} )

i) Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧ χ_{A} (t) . ii) Raskite matricos A tikrines reikšmes λ_{1}, ..., λ_{n}. iii) Parašykite matricos A kanonini̧ diagonalini̧ pavidala̧. iv) Raskite matricos A tikrinius vektorius ir ju̧ pagalba sudarykite tokia̧ or-

togonalia̧ja̧ matrica̧ C , kad

C^{−1}AC = ( \begin{matrix}λ_{1} & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

1.1. Atlikite dvieju̧ plokštumu̧ T_{1} = x_{1} + P ir T_{2} = x_{2} + Q , čia dim P = dim Q = 2 padėčiu̧ erdvėje R^{5} klasifikacija̧. Klasifikacija̧ atlikite mažiausios plokštumos, kurioje yra ir x_{1} + P, ir x_{2} + Q, dimensijos ir poerdviu̧ sankirtos P ∩ Q atžvilgiu.

1.2.. Kokia plokštumu̧ P = x_{0} + t_{1}u_{1} + t_{2}u_{2} , P = y_{0} + t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} padėtis?

\begin{matrix}x_{0} = & (7, −4, 0, 3, 2) \\ y_{0} = & (6, −5, −1, 2, 3) \\ u_{1} = & (−1, 1, 1, 1, 1,) \\ u_{2} = & (1, 1, −1, 1, 1,) \\ v_{1} = & (1, −1, 1, 1, 1,) \\ v_{2} = & (1, 1, 1, −1, 1) \end{matrix}

2. Raskite 2-osios eilės kreivės 4x^{2} + y^{2} − 4xy − 10y − 19 = 0

1) kanonini̧ pavidala̧ ;

2) kintamu̧ju̧ keitini̧, kurio pagalba gaunate kanonini̧ pavidala̧;

3) nustatykite kokia tai kreivė.

4) nubrėžkite grafika̧.

3. Duota simetrinė matrica A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}14 & 2 & 14 \\ 2 & −1 & −16 \\ 14 & −16 & 5 \end{matrix} )

i) Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧ χ_{A} (t) . ii) Raskite matricos A tikrines reikšmes λ_{1}, ..., λ_{n}. iii) Parašykite matricos A kanonini̧ diagonalini̧ pavidala̧. iv) Raskite matricos A tikrinius vektorius ir ju̧ pagalba sudarykite tokia̧ or-

togonalia̧ja̧ matrica̧ C , kad

C^{−1}AC = ( \begin{matrix}λ_{1} & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & ⋯ & λ_{n} \end{matrix} ) .

ATSAKYMAI

\underline{1 Variantas.}

1.1 P ∩ Q dim G  prasmė P = Q  2  sutampa dim = 1  3  kertasi plokštuma P = Q  3  plokštumos lygiagrečios 0  4  kertasi taške dim = 1  4  prasilenkia lygiagrečiai tiesei 0  5  prasilenkia .

1.2. Plokštumos turi viena̧ bendra̧ vektoriu̧ (1, 2, 1, 0, 1) .

2. x^{2} − 4xy + 4y^{2} + 5y − 9 = 0 3.

A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}1 & 16 & −2 \\ 16 & −5 & −14 \\ −2 & −14 & −14 \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}\frac{4}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} \\ −\frac{2}{9} & \frac{4}{9} & −\frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & −\frac{2}{9} & −\frac{2}{9} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & −3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 & −\frac{1}{2} \\ 1 & −2 & −2 \end{matrix} ), eigenvalues: 2, −3, −1,

characteristic polynomial: X^{3} + 2X^{2} − 5X − 6.

\underline{2 Variantas.}

1.1 P ∩ Q dim G  prasmė P = Q  2  sutampa dim = 1  3  kertasi plokštuma P = Q  3  plokštumos lygiagrečios 0  4  kertasi taške dim = 1  4  prasilenkia lygiagrečiai tiesei 0  5  prasilenkia .

1.2. Plokštumos nesikerta, beto ju̧ krypties poerdviu̧ sankirtoje yra tik nulinis vektorius.

2. 4x^{2} + y^{2} − 4xy − 10y − 19 = 0

3.

A = \frac{1}{9} ( \begin{matrix}14 & 2 & 14 \\ 2 & −1 & −16 \\ 14 & −16 & 5 \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}\frac{4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ \frac{4}{9} & −\frac{2}{9} & −\frac{2}{9} \\ −\frac{2}{9} & −\frac{2}{9} & \frac{4}{9} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 1 & −\frac{1}{2} \\ 1 & −2 & −2 \\ 1 & −\frac{1}{2} & 1 \end{matrix} ), eigenvalues: 1, 3, −2, char-

acteristic polynomial: X^{3} − 2X^{2} − 5X + 6