2.ALGEBROS KONTROLINIS DARBAS NR.2 (1999.12.17) 1 variantas

1.1. Išsprȩskite kvadratinȩ lygti̧ :

x^{2} − (3 − i) x + 4 − 3i = 0 .

2.1. Faktorizuokite polinoma̧ f (x) = x^{9} − 1 virš R.

3.1. I̧dėkite rombo simetriju̧ grupȩ i̧ S_{n}.

4.1. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = 2^{i−j}a_{ij} .

5.1. Kiek sprendiniu̧ priklausomai nuo parametro λ turi tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema. Išsprȩskite sistema̧.

\{ \begin{matrix}λx + y + z = 1 \\ x + λy + z = 1 \\ x + y + λz = 1 \end{matrix} .

6.1. Raskite 3 -ojo laipsnio polinoma̧, jeigu

\begin{matrix}x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f (x) & −3 & −1 & 8 & 4 \end{matrix} .

7.1. Kas atsitiks su kvadratine matrica A, padauginus ja̧ iš kairės iš elementariu̧ju̧ matricu̧ P_{ij}, D_{i} (α) , L_{ij} (α). Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.

1.2. Išsprȩskite kvadratinȩ lygti̧ :

x^{2} − (3 + i) x + 8 − i = 0 .

2.2. Faktorizuokite polinoma̧ f (x) = x^{10} − 1 virš R.

3.2. I̧dėkite stačiakampio simetriju̧ grupȩ i̧ S_{n}.

4.2. Palyginkite kvadratiniu̧ matricu̧ A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n} ir B = (b_{ij})_{i,j=1}^{n} determinantus, jei b_{ij} = a_{n+1−i,j} .

5.2. .Kiek sprendiniu̧ priklausomai nuo parametro λ turi tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema. Išsprȩskite sistema̧.

\{ \begin{matrix}x + y + λz = 1 \\ x + λy + z = 1 \\ λx + y + z = 1 \end{matrix} .

6.2. Raskite 3 -ojo laipsnio polinoma̧, jeigu

\begin{matrix}x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f (x) & 5 & −4 & −2 & 7 \end{matrix} .

7.2. Kas atsitiks su kvadratine matrica A, padauginus ja̧ iš dešinės iš elementariu̧ju̧ matricu̧ P_{ij}, D_{i} (α) , L_{ij} (α). Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.

KONTROLINIO DARBO ATSAKYMAI

1.1. 2 + i; 1 − 2i. 1.2. 1 − 2i; 2 + 3i. 2.1. (x − 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} + x^{3} + 1)= (x − 1) · (x^{2} + x + 1) · (x^{2} + 1, 87938x + 1) · (x^{2} − 0, 3473x + 1) · (x^{2} − 1, 53208x + 1) 2.2. (x − 1) (x + 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) (x^{4} − x^{3} + x^{2} − x + 1)= (x − 1)·(x + 1)·(x^{2} + 1, 61804x + 1)·(x^{2} − 1, 61804x + 1)·(x^{2} − 0, 61804x + 1) · (x^{2} + 0, 61804x + 1) 3.1. Z_{2} × Z_{2}.e→ id; a(180^{∘}) → (12) (34) ; b (↕) → (13) (24) ; c (↔) → (14) (23) . 3.2. Z_{2} × Z_{2}.e→ id; a(180^{∘}) → (12) (34) ; b (↕) → (13) (24) ; c (↔) → (14) (23) . 4.1. det B = det A. 4.2. det B = (−1)^{[^{\frac{n}{2}}]} det A. 5.1. Kai λ ≠ 1, −2 x = y = z = 1; kai λ = 1 x = 1 − y − z ; kai λ = −2

sistema nesuderinta.

5.2. Kai λ ≠ 1, −2 x = y = z = 1; kai λ = 1 z = 1 − x − y ; kai λ = −2 sistema nesuderinta.

6.1. \frac{−3}{−6} (x − 2) (x − 3) (x − 4)+ \frac{−1}{2} (x − 1) (x − 3) (x − 4)+ \frac{8}{−1} (x − 1) (x − 2) (x − 4)+ \frac{4}{6} (x − 1) (x − 2) (x − 3) = \frac{1}{2} (x − 2) (x − 3) (x − 4) − \frac{1}{2} (x − 1) (x − 3) (x − 4) − 8 (x − 1) (x − 2) (x − 4) + \frac{2}{3} (x − 1) (x − 2) (x − 3) = −\frac{22}{3}x^{3} + \frac{103}{2}x^{2} − \frac{607}{6}x + 54

6.2. \frac{5}{−6} (x − 2) (x − 3) (x − 4)+ \frac{−4}{2} (x − 1) (x − 3) (x − 4)+ \frac{−2}{−1} (x − 1) (x − 2) (x − 4)+ \frac{7}{6} (x − 1) (x − 2) (x − 3) = −\frac{5}{6} (x − 2) (x − 3) (x − 4) − 2 (x − 1) (x − 3) (x − 4) + 2 (x − 1) (x − 2) (x − 4) + \frac{7}{6} (x − 1) (x − 2) (x − 3) = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} − \frac{113}{6}x + 21

7.1. Padauginus iš kairės iš P_{ij} eilutės keičiaisi vietomis; padauginus iš kairės iš D_{i} (α) eilutė dauginama iš α;

padauginus iš kairės iš L_{ij} (α) prie i-osios eilutės pridedama j-oji padauginta iš α.

7.2. Padauginus iš dešinės iš P_{ij} stulpeliai keičiaisi vietomis; padauginus iš dešinės iš D_{i} (α) stulpelis dauginamas iš α;

padauginus iš dešinės iš L_{ij} (α) prie i-ojo stulpelio pridedamas j-asis padaugintas iš α.