ALGEBROS KONTROLINIS 2000.05.17

1.1. Duotas Eukildo erdvės R^{4} poerdvis L− tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}2x_{1} − 4x_{2} − 8x_{3} + 13x_{4} = −19 \\ x_{1} + x_{2} − x_{3} + 2x_{4} = 1 \end{matrix} , sprendiniu̧ aibė ir vektorius v = (2, 1, −3, 4) .

1.1.1. Raskite poerdvio L ortonormuota̧ja̧ bazȩ. 1.1.2. Raskite poerdvio L^{⊥} ortonormuota̧ja̧ bazȩ. 1.1.3. Raskite vektoriaus v ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ L. 1.1.4. Raskite vektoriaus v atstuma̧ i̧ L. 1.1.5. Raskite kampa̧ tarp vektoriaus v ir L.

1.2. Duota matrica A = ( \begin{matrix}−\frac{5}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & −2 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{3}{2} \end{matrix} )

1.2.1. Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧. 1.2.2. Raskite matricos A tikrines reikšmes. 1.2.3. Raskite matricos A minimalu̧ji̧ polinoma̧. 1.2.4. Raskite matricos A tikriniu̧ vektoriu̧ poerdvi̧. 1.2.5. Raskite matricos A Žordano forma̧.

2.1. Duotas Eukildo erdvės R^{4} poerdvis L− tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}2x_{1} + 3x_{2} − x_{3} − 2x_{4} = 4 \\ 3x_{1} + 2x_{2} − 5x_{3} + x_{4} = 5 \end{matrix} sprendiniu̧ aibė ir vektorius v = (3, −2, 1, 4) .

2.1.1. Raskite poerdvio L ortonormuota̧ja̧ bazȩ. 2.1.2. Raskite poerdvio L^{⊥} ortonormuota̧ja̧ bazȩ. 2.1.3. Raskite vektoriaus v ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ ir statmeni̧ i̧ L. 2.1.4. Raskite vektoriaus v atstuma̧ i̧ L. 2.1.5. Raskite kampa̧ tarp vektoriaus v ir L.

2.2. Duota matrica A = ( \begin{matrix}−\frac{9}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & −4 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{7}{2} \end{matrix} )

2.2.1. Raskite matricos A charakteristini̧ polinoma̧. 2.2.2. Raskite matricos A tikrines reikšmes. 2.2.3. Raskite matricos A minimalu̧ji̧ polinoma̧. 2.2.4. Raskite matricos A tikriniu̧ vektoriu̧ poerdvi̧. 2.2.5. Raskite matricos A Žordano forma̧.

ATSAKYMAI.

1.2. ( \begin{matrix}−\frac{5}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & −2 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{3}{2} \end{matrix} )

Žordano forma ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} )

tikriniai vektoriai: [−2 ↔ \{( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\}]

tikrinė reikšmė: −2, minimalusis polinomas: X^{2} + 4X + 4 = (X + 2)^{2} charakteristinis polinomas: X^{3} + 6X^{2} + 12X + 8 = (X + 2)^{3} .

2.2. ( \begin{matrix}−\frac{9}{2} & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} \\ 0 & −4 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −\frac{7}{2} \end{matrix} ),

charakteristinis polinomas: X^{3} + 12X^{2} + 48X + 64 tikrinės reikšmė: −4, minimalusis polinomas: 16 + 8X + X^{2}

tikriniai vektoriai: [−4 ↔ \{( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )\}]

Žordano forma: ( \begin{matrix}−4 & 0 & 0 \\ 1 & −4 & 0 \\ 0 & 0 & −4 \end{matrix} )