Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis

12 pratybos. Tiesė erdvėje.

Pagrindiniai geometriniai uždaviniai tiesei ir plokštumai erdvėje sprendžiami šiais paprasčiausiais geometriniais uždaviniais.

Tegu P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}) , P (x_{2}, y_{2}, z_{2}) , P (x_{3}, y_{3}, z_{3}) − trys taškai,

t_{1} : \frac{x − x′}{k′} = \frac{y − y′}{l′} = \frac{z − z′}{m′} ir t_{2} : \frac{x − x′′}{k′′} = \frac{y − y′′}{l′′} = \frac{z − z′′}{m′′} − dvi tiesės,

p : ax + yb + cz + d = 0− plokštuma. Tada:

1) tiesė, einanti per du taškus P_{1}, P_{2}, yra

\frac{x − x_{1}}{x_{2} − x_{1}} =\frac{y − y_{1}}{y_{2} − y_{1}} =\frac{z − z_{1}}{z_{2} − z_{1}}

2) tiesė, einanti per taška̧ P_{1} ir lygiagreti tiesei t_{1,} yra

\frac{x − x_{1}}{k′} =\frac{y − y_{1}}{l′} =\frac{z − z_{1}}{m′}

3) tiesė, einanti per taška̧ P_{1} ir statmena plokštumai p, yra

\frac{x − x_{1}}{a} =\frac{y − y_{1}}{b} =\frac{z − z_{1}}{c}

4) plokštuma, einanti per tris taškus P_{1}, P_{2}, P_{3}, yra

| \begin{matrix}x & y & z & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = 0

5) plokštuma, einanti per per taška̧ P_{1} ir lygiagreti plokštumai p, yra

a (x − x_{1}) + b (y − y_{1}) + c (z − z_{1}) = 0

6) plokštuma, einanti per per taška̧ P_{1} ir statmena tiesei t_{1}, yra

k′ (x − x_{1}) +l′ (y − y_{1}) +m′ (z − z_{1}) = 0

7) plokštuma, einanti per taška̧ P_{1} ir lygiagreti dviems tiesėms t_{1}, t_{2}, yra

| \begin{matrix}x − x_{1} & y − y_{1} & z − z_{1} \\ x′ & y′ & z′ \\ x′′ & y′′ & z′′ \end{matrix} | = 0

Uždaviniai.

1. Raskite tiesės, einančios per taškus A (−1, −3, 1) ir B (2, 1, −4) , ir plokštumos x + 2y − x − 8 = 0 susikirtimo taška̧.

2. Raskite plokštumos, einančios per dvi lygiagrečias tieses \frac{x−3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{x−1}{2} ir \frac{x+1}{2} = \frac{y−1}{1} = \frac{x}{2}, lygti̧.

3. Raskite tiesės, einačios per taška̧ A (−4, 3, 0) ir lygiagrečios tiesei

\{ \begin{matrix}x − 2y + z = 4 \\ 2x + y − z = 0 \end{matrix} , lygti̧.

4. Nustatykite tiesės \frac{x+1}{2} = \frac{y−3}{4} = \frac{z}{3} ir plokštumos 3x − 3y + 2z − 5 = 0 padėti̧ erdvėje.

5. Raskite taško A (3, −5, −7) projekcija̧ plokštumoje x + 2y + 3z = 0.

6. I̧rodykite, kad keturkampis A (−3, 5, 6) B (1, −5, 7) C (8, −3. − 1) D (4, 7, −2) yra kvadratas.

7. Parašykite tiesės \{ \begin{matrix}x − y − z − 1 = 0 \\ x + 5y + 2z + 11 = 0 \end{matrix} kanoninȩ lygti̧.

8. Nusakykite tiesiu̧ \{ \begin{matrix}x + 2y − z = 0 \\ 2x − y + 2z = 0 \end{matrix} ir \{ \begin{matrix}x = 3 + t \\ y = −1 + 2t \\ z = 4 \end{matrix} padėti̧ erdvėje.

9. Raskite tiesės, einačios per taška̧ A (3.5.1) ir statmenos tiesei \{ \begin{matrix}x = 2 + 4t \\ y = −3t \\ z = −3 \end{matrix} ,

lygti̧.

10. Ar taškai A (2, −1, −2) , B (1, 2, 1) , C (2, 3, 0) , D (5, 0, −6) yra vienoje plokštumoje?

11. Raskite kanoninȩ ir parametrinȩ tiesės \{ \begin{matrix}2x + y + z − 2 = 0 \\ 2x − y − 3z + 6 = 0 \end{matrix} lygtis.

12. Ar taškai A (1, −2, 1) ir B (5, 4, −1) yra simetriniai tiesės \frac{x−1}{−2} = \frac{y−2}{1} = \frac{z+1}{−1} atžvilgiu?

13. Parašykite kurios nors tiesės, esančios plokštumoje x − y + 2z − 6 = 0, bendra̧ja̧, kanoninȩ, parametrinȩ lygtis.

14. Raskite kuri̧ nors vektoriu̧, lygiagretu̧ tiesei \{ \begin{matrix}x + 2y + 3z − 4 = 0 \\ x + y + z + 1 = 0 \end{matrix} .

15. Duotos dvi prasilenkiančios tiesės

\{ \begin{matrix}3x + 2y − 4z + 1 = 0 \\ 5x − y + 2z − 4 = 0 \end{matrix} ir \{ \begin{matrix}2x − 3y + z + 8 = 0 \\ 4x − 2y + 5 = 0 \end{matrix} .

1) Raskite plokštumos, einančios per taška̧ A (1, 2, 1) ir lygiagrečios šioms plokštumoms, lygti̧.

2) Raskite mažiausia̧ atstuma̧ tarp šiu̧ tiesiu̧.

3) Sudarykite bendro abiems tiesėms statmens kanonines lygtis.