Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis

11 pratybos. Plokštuma erdvėje.

1. Parašykite plokštumos, kuri yra simetrijos plokštuma taškams (x_{1}, y_{1}, z_{1}) ir (x_{2}, y_{2}, z_{2}) , lygti̧.

2. Raskite geometrinȩ vieta̧ tašku̧, tenkinančiu̧ lygti̧

(ax + by + cz + d)^{2} − (a′x + b′y + c′z + d′)^{2} = 0.

3. I̧rodykite, kad trys plokštumos

ax + by + cz + d = 0
a′x + b′y + c′z + d′ = 0
λ (ax + by + cz) + μ (a′x + b′y + c′z) + k = 0

čia k ≠ λd + μd′, neturi bendru̧ tašku̧.

4. Raskite sa̧lygas, kada plokštuma

ax + by + cz + d = 0

kerta teigiama̧ Ox pusašȩ ( Oy, Oz).

5. Raskite plokštumos

ax + by + d = 0

atstuma̧ iki Oz ašies.

6. Raskite plokštumu̧, lygiagrečiu̧ plokštumai

ax + by + cz + d = 0

ir nutolusiu̧ atstumu D iki šios plokštumos, lygtis.

7. Raskite kampus tarp plokštumos

ax + by + cz + d = 0

ir koordinatiniu̧ ašiu̧ Ox, Oy, Oz.

8. Raskite kampa̧ tarp plokštumos

z = ax + by + d

ir xy− plokštumos.

9. Tegu F yra figūra plokštumoje

z = ax + by + d,

o F′ šios figūros projekcija xy− plokštumoje. Tegu S (F) ir S (F′) šiu̧ figūru̧ plotai. I̧rodykite, kad

S (F) = \sqrt{1 + a^{2} + b^{2}}S (F′) .

10. Raskite sa̧lygas, kada plokštuma

ax + by + cz + d = 0

sudaro su Ox ir Oy vienodus kampus. Kada ši plokštuma sudaro vienodus kampus su visomis koordinatinėmis ašimis?

11. I̧rodykite, kad plokštumos, einančios per taška̧ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ir lygiagrečios plokštumai

ax + by + cz + d = 0

lygtis yra

a (x − x_{0}) + b (y − y_{0}) + c (z − z_{0}) = 0.

12. I̧rodykite, kad plokštumos, einančios per taška̧ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ir statmenos plokštumoms

a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0
a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0

lygtis yra (x − x_{0}, y − y_{0}, z − z_{0}) · ((a_{1}, b_{1}, c_{1}) × (a_{2}, b_{2}, c_{2}))

= | \begin{matrix}x − x_{0} & y − y_{0} & z − z_{0} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{matrix} | = 0.

13. I̧sitikinȩ, kad plokštumos

x + y − 2y − 1 = 0
x + y − 2z + 3 = 0

yra lygiagrečios, raskite:

1) atstuma̧ tarp duotu̧ plokštumu̧

2) plokštuma̧, vienodai nutolusia̧ nuo duotu̧ju̧ plokštumu̧

3) plokštumas, nutolusias 5 vienetais nuo plokštumos, kuria̧ rasite atlikȩ 2).

14. Duotos dvi plokštumos:

6x − 2y − 3z − 1 = 0
8x − y + 4z + 5 = 0.

1)I̧sitikinkite, kad plokštumos nėra lygiagrečios ir statmenos.

2) Raskite plokštumas, kurios duotu̧ju̧ plokštumu̧ sudaromus dvisienius kampus dalytu̧ pusiau.

15. Kokios turi būti m ir n parametru̧ reikšmės, kad plokštumos

x + 2y + 3z − 1 = 0
2x − 4y − 6z − 5 = 0
3x + ay − z − b = 0

1) turėtu̧ tiktai viena̧ bendra̧ taška̧

2) eitu̧ per viena̧ tiesȩ

3) poromis kirsdamosi sudarytu̧ tris lygiagrečias tieses.

16. Sudarykite lygtis plokštumu̧:

1) eina per taška̧ A (2, 1, −1) ir stamena vektoriui n = (1, −2, 3) ;

2) eina per tris taškus A (3, 3, −1) , B (−3, 1, 4) , C (−1, −1, 1) ;

3) eina per taška̧ A (−2, 4, 3) ir lygiagreti plokštumai x − 4y + 5z − 1 = 0;

4) eina per taška̧ A (0, −5, 1) ir stamena susikertančiom plokštumoms 3x−y + z = 0 ir 2x + 3y + z − 3 = 0.