Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis 8 pratybos. Kompleksinės vieneto šaknys. Grupės ir ju̧ pagrindinės savybės.

Tegu U (n) - n-ojo laipsnio vieneto šaknu̧ aibė. n-ojo laipsnio vieneto šaknies ε_{k} eile vadinamas mažiausias toks natūralus

skaičius m, kad (ε_{k})^{m} = 1.

n-ojo laipsnio vieneto šaknis ε_{k} vadinama primityvia, jeigu jos eilė lygi n. Tegu α = a+ib = [r, φ] = r (cos φ + i sin φ) ∈ C. Tada e^{a+ib} =^{def} e^{a} (cos b + i sin b) ;

z = r · e^{iφ} = e^{ln r+iφ}; ln (a + ib) =^{def} ln r + iφ ir α^{β} =^{def} (e^{ln α})^{β} = e^{β ln α}, čia β ∈ C.

1. Raskite visas n− ojo laipsnio šaknis iš 1, kai 1 < n ≤ 25.

2. Raskite visas primityvias n− ojo laipsnio šaknis iš 1, kai 1 < n ≤ 25.

3. Raskite visu̧ n− ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 eiles, kai 1 < n ≤ 25.

4. Tegu ε_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} - vieneto šaknis. I̧rodykite, kad ε_{k} eilė yra lygi

\frac{n}{BDD (k, n)} .

5. I̧rodykite, kad U (m) ⊂ U (n) , kai m|n .

6. I̧rodykite, kad U (m) ∩ U (n) = ε_{0} , kai BDD(m, n) = 1.

7. Faktorizuokite polinomus x^{n} − 1 ir x^{n} + 1 virš R, kai n = 3, ..., 25.

8. I̧rodykite, kad 1 + β + β^{2} + ⋯ + β^{n−1} = 0 , kai β ≠ 1 - vieneto šaknis.

9. Suskaičiuokite: 1) e^{πi}; 2) e^{− \frac{π}{2} i}; 3) ln (−1) ; 4) ln (1 + i) .

10. Parodykite, kad lygties z^{n} = 1 šaknimis yra skaičiai ζ_{k} = e^{\frac{2πki}{n}} , k ∈ Z. Grupės ir ju̧ pagrindinės savybės.

[ M.Maknys. Algebros užduotys ir rekomendacijos. Vilnius,1988] 70 psl.:1)- 40); 72 psl.: 1),2),6),13).

I̧rodykite, kad šios aibės yra grupės nurodytu̧ operaciju̧ atžvilgiu:

11. K = (\{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) |d = a, c = −2b, ad − bc ≠ 0\} , ·) ⊂ GL_{2} (, R) .

12. G = (\{( \begin{matrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) |a, b ∈ R\} , ·) ⊂ GL_{3} (R) .

13. ({id, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)} , ∘) ⊂ S_{4}− Kleino ketvirtinė grupė.

14. ({id, (13) , (24) , (12) (34) , (13) (24) , (14) (23) , (1234) , (1432)} , ∘) ⊂ S_{4}.

Grupės (G, ∗) elemento g eilė yra toks mažiausias sveikas teigiamas skaičius n, kad \underbrace{g ∗ ... ∗ g}_{n kartu̧}= 1.

Raskite grupės elemento eilȩ:

15. A = ( \begin{matrix}i & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & i \end{matrix} ) eilė grupėje GL_{3} (C) .

16. g = −\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i eilė grupėje C^{∗} = (C\ \{0\} , ·) .

15. h = \frac{1}{\sqrt{2}} − \frac{1}{\sqrt{2}}i eilė grupėje C^{∗} = (C\ \{0\} , ·) .

17. B = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )eilė grupėje GL_{4} (R) .

18. C = ( \begin{matrix}1 & i \\ 1 & 0 \end{matrix} )eilė grupėje GL_{2} (C) .

19. D = ( \begin{matrix}−1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} )eilė grupėje GL_{2} (C) .

Tegu G grupė ir g ∈ G. Aibȩ {g^{k}|k ∈ Z} žymėsime ⟨g⟩ . I̧rodykite, kad grupės yra izomorfinės:

20. z = −\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} ∈ C^{∗} ir A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ i & 0 \end{matrix} ) ∈ GL_{2} (C) . ⟨z⟩ ≈ ⟨A⟩ .

21. σ = (32651) ∈ S_{6} ir z = cos \frac{6π}{5} + i sin \frac{6π}{5} ∈ C^{∗}.I̧rodykite, kad ⟨σ⟩ ≈ ⟨z⟩ .

22. z = 2 − i ∈ C^{∗}, n = 3 ∈ Z, a = 10 ∈ R^{∗}. I̧rodykite, kad ⟨z⟩ ≈ ⟨n⟩ ≈ ⟨a⟩ .