Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis 7 pratybos .Kompleksiniai skaičiai.

1. Atlikite veiksmus :

1) \frac{(2 − i)^{4} + 1 + 6i}{(1 − i)^{3}} .

2) \frac{(2 − i)^{3} + (4 − i)^{3}}{(1 + 2i)^{2}} .

3) Apskaičiuokite skaičiaus −5 + 5i, išreikšto trigonometrine forma, kvadrata̧.

4) Parašykite kompleksini̧ skaičiu̧ z = \frac{(1 − i) (2 − i)}{1 + 2i} algebrine forma x + iy,

čia x, y ∈ R. raskite z^{12}. 5) Raskite z + z^{−1} realia̧ja̧ ir menama̧ja̧ dalis, jei z = 3 + 2i.

6) Parašykite 1 + (1 + i) + (1 + i)^{2} + ⋯ + (1 + i)^{99} algebrine forma x + iy, x, y ∈ R.

2. Ištraukite kvadratinȩ šakni̧ .

1) \sqrt{16 + 30i} .

2) \sqrt{9 − 40i} .

3. Išsprȩskite lygtis.

1) (2 − 2i) x^{2} − (6 + 6i) x − 5 + 5i = 0 .

2) 2ix^{2} − (8 + 2i) x + (4 − 7i) = 0 .

3) 3zz̄ + z − 2z̄ = 5 − 3i .

4) zz̄ + 2z̄ − z = 6 − 6i .

5) z + 3z̄ = 3i. Raskite z^{12}.

4. Raskite kompleksiniams skaičiams z atitinkančiu̧ geometrinȩ vieta̧ .

1) |z + 1 − i| ≥ 1.

2) |z − 1 − 2i| < 2.

3) |z + 2 − i| = |z − 1 + 3i| .

4) |z − i| ≥ |z − 1 + 2i| .

5) |z + i| > 1, Re z < 2, Im z ≥ 3.

6) |z + 2i| = |2iz − 1| .

7) |z − i| = \sqrt{2} · |z̄ − i| .

6) log\sqrt{3} \frac{|z|^{2} − |z| + 1}{2 + |z|} < 2.

7) log_{\frac{1}{3}} \frac{|z|^{2} + |z| + 39}{1 + 2 |z|} > −2 .

8) \frac{|z + 2i|}{|z − 2i|} = λ, kai λ = \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{4}{1}, \frac{8}{3}, \frac{2}{1}, \frac{8}{5}.

9) |z − 1 − i| = 2 |z − 5 − 2i| .

5. Apskaičiuokite.

1) (\frac{i\sqrt{3} − 1}{2})^{9} .

2) (\frac{−1 − i\sqrt{3}}{2})^{9} .

3) \frac{(1 + i\sqrt{3}) (cos 4φ + i sin 4φ)}{cos 2φ − i sin 2φ}.

4) \begin{matrix}(1 + i) & 20 \\ (1 − i\sqrt{3}) & 10 \end{matrix} .

5) ^{4} \sqrt{\begin{matrix}(\sqrt{3} − i) & 5 \\ (1 + i) & 10 \end{matrix}} .

6. Išreikšti funkcija cos 5x, cos 8x, sin 6x, sin 7x funkcijomis cos x ir sin x.

7. Išreikšti tg6φ funkcija tgφ.

8. Išreikšti funkcijas cos nx, sin nx funkcijomis sin x, cos x.

9. Išreikšti funkcijas sin^{3} x, sin^{4} x, cos^{5} x, cos^{6} x, sin^{3} x cos^{5} x funkcijomis sin nx, cos mx.

10. Raskite matricai ( \begin{matrix}2 + i & −1 + 2i & 2 \\ 1 + i & −1 + i & 1 \\ 1 + 2i & −2 + i & 1 + i \end{matrix} ) laiptuota̧ matrica̧.