Algebra ir geometrija informatikams. Pratybos. Rimantas Grigutis

7 pratybos.. Matricos.

1. Duotos elementariosios matricos E_{ij}, E_{i} (α) , E_{ij} (α) ∈ M_{n}:

E_{ij} = \begin{matrix}i \\ j \end{matrix} ( \begin{matrix}1 & & & & 0 & & 0 & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 0 & ⋯ & 1 & ⋯ & 0 \\ . & . & . \\ 0 & & & & 1 & ⋯ & 0 & & 0 \\ . & . & . \\ 0 & & & & 0 & & 0 & & 1 \end{matrix} ), E_{i} (α) = i ( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & α \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

E_{ij} (α) = \begin{matrix}i \\ j \end{matrix} ( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 & ⋯ & α \\ & & & & & ... & ⋮ \\ & & & & & & 1 \\ & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} )

1) Kaip keisis matrica A padauginus ja̧ iš kairės iš elementariosios matricos?

2) Kaip keisis matrica A padauginus ja̧ iš dešinės iš elementariosios matricos?

3) Raskite elementariu̧ju̧ matricu̧ atvirkštines matricas.

4) Raskite matrica̧ A ∈ M_{3} : A = E_{3} (5) E_{23} (2) E_{12}. Raskite A^{−1}.

5) Apskaičiuokite:

1) E_{12}E_{23} 2) E_{1} (5) E_{12} 3) E_{12} (3) E_{21} (−3) 4) (E_{1} (100))^{−1}

5) E_{12}^{−1} 6) (E_{12} (7))^{−1} 7) (E_{12} (7) E_{31} (1))^{−1} .

2. Duotos matricos A_{1} = ( \begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}1 & 5 & 2 \\ −1 & 1 & 0 \\ −4 & 1 & 3 \end{matrix} ) ,

A_{3} = ( \begin{matrix}−3 & −1 \\ 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{matrix} ) , A_{4} = ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) .

Jeigu i̧manoma apskaičiuokite A_{i} ± A_{j} ir A_{i} · A_{j} , 1 ≤ i, j ≤ n.

3. Tegu A = ( \begin{matrix}7 & 4 \\ −9 & −5 \end{matrix} ) . I̧rodykite, kad A^{n} = ( \begin{matrix}1 + 6n & 4n \\ −9n & 1 − 6n \end{matrix} ) , kai

n ≥ 1.

4. Tegu A = ( \begin{matrix}4 & −3 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) . I̧rodykite, kad A^{n} = \frac{3^{n}−1}{2}A + \frac{3−3^{n}}{2} I_{2}, kai n ≥ 1

5. Raskite A^{−1}, kai

1) A = ( \begin{matrix}2 & 1 & −3 \\ −2 & −2 & 4 \\ 4 & 2 & −5 \end{matrix} ) . 2) A = ( \begin{matrix}2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

6. Su kuria racionalia λ reikšme matrica A = ( \begin{matrix}1 & 2 & λ \\ 3 & −1 & 1 \\ 5 & 3 & −5 \end{matrix} ) yra išsigimusi?

7. Išsprȩskite : X ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 & 9 & 8 \\ 0 & 1 & 6 \end{matrix} ) .

8. Raskite : 1)( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} , 2) ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )^{n} .

9. Kvadratinė matrica A = ( \begin{matrix}0 & a & ⋯ & b \\ 0 & 0 & ⋯ & c \\ ⋮ & & ... & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{n}. I̧rodykite, kad A^{n} = 0.

10. Tegu tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema AX = B \underline{nesuderinta}. Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema A^{T} AX = A^{T} B vadinama normalia̧ja sistema atitinkančia AX = B. Normaliosios sistemos sprendiniai vadinami sistemos AX = B mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendiniais.

10.1. Raskite sistemos mažiausiu̧ kvadratu̧ sprendinius.

1) \{ \begin{matrix}x = 1 \\ y = 2 \\ x + y = 3.05 \end{matrix} 2) \{ \begin{matrix}x + 2y & = 4 \\ x + y & = 5 \\ 3x + 5y & = 12 \end{matrix} .

10.2. Duoti taškai (x_{i}, y_{i}) turėtu̧ būti tiesėje y = mx + b. Raskite mažiausiu̧ kvadratu̧ tiesȩ šiems taškams:

1) (1, 2) ; (2, 6) ; (3, 5) 2) (0, 0) ; (1, 0) ; (2, −1) ; (3, 4) ; (4, 8) . 10.3. Duoti taškai (x_{i}, y_{i}) turėtu̧ būti parabolėje y = ax^{2} + bx + c. Raskite

mažiausiu̧ kvadratu̧ parabolȩ šiems taškams:

1) (0, 0) ; (1, 0) ; (2, −1) ; (3, 4) ; (4, 8) 2) (−1, 3) ; (0, 1) ; (1, 0) ; (2, −4) .