4 Pratybos. Keitiniai. Rimantas Grigutis.

1. Keitini̧ σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 7 & 5 & 6 & 9 & 2 & 4 & 8 & 1 & 3 \end{matrix} ) parašykite nesikertančiais cik-

lais. Kokia keitinio σ eilė ?

Lyginis ar nelyginis šis keitinys ? Raskite σ^{−1} .

2. Tegu σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 5 & 1 & 8 & 3 & 6 & 4 & 7 & 9 \end{matrix} ) ,

τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 1 & 5 & 4 & 7 & 2 & 6 & 8 & 9 & 3 \end{matrix} ) . Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

3. Tegu α = (1, 3, 5, 7, 9) , β = (1, 2, 6) , γ = (1, 2, 5, 3) ∈ S_{10} . Parašykite keitini̧ σ = αβγ nesikertančiu̧ ciklu̧ sandauga. Raskite σ ir σ^{−1} eiles. Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

4. Tegu σ = (2, 4, 9, 7) (6, 4, 2, 5, 9) (1, 6) (3, 7, 6) ∈ S_{9} . Parašykite keitini̧ σ nesikertančiu̧ ciklu̧ sandauga. Raskite σ ir σ^{−1} eiles. Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

5. Tegu τ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 7 & 2 & 11 & 4 & 6 & 8 & 9 & 10 & 1 & 3 & 5 \end{matrix} ), o σ = (3, 8, 7) ∈ S_{11} .

Pararašykite keitinius

σ, τ, σ ∘ τ, σ ∘ τ ∘ σ^{−1}, σ^{−1}, τ^{−1}, τ ∘ σ, τ ∘ σ ∘ τ^{−1} nesikertančiais ciklais. Kokios šiu̧ keitiniu̧ eilės? Lyginiai ar nelyginiai šie keitiniai ?

6. I̧rodykite, kad ord_{S_{n}} (σ) = ord_{S_{n}} (τ ∘ σ ∘ τ^{−1}) .

7. I̧rodykite, kad grupėje S_{10} yra 10, 12, 14 eilės keitiniai , bet nėra 11 ir 13 eiliu̧ keitiniu̧ .

8. Keitinio π dekrementa̧ apibrėžia formule d = d (π) = s−k , kur s - keičiami keitinyje π skaičiai, k - nepriklausomu̧ ciklu̧ skaičius.

1) I̧rodykite, kad signπ = (−1)^{d} .

2) I̧rodykite, kad keitini̧ π galima parašyti d transpoziciju̧ sandauga.

3) I̧rodykite, kad keitini̧ π negalima parašyti mažiau kaip d transpoziciju̧ sandauga.

9. I̧rodykite, kad S_{n} = ⟨(1, 2) , (1, 3) , ..., (1, n)⟩.

10. I̧rodykite, kad S_{n} = ⟨(1, 2) , (2, 3) , ..., (n − 1, n)⟩.

11. I̧rodykite, kad S_{n} = ⟨(1, 2) , (1, 2, ..., n)⟩.

12. I̧rodykite, kad A_{n} = ⟨(i, j, k) |1 ≤ i, j, k ≤ n⟩.

13. I̧rodykite, kad A_{n} = ⟨(1, 2, 3) , (1, 2, 4) , ..., (1, 2, n)⟩.

14. Kiek grupėje S_{100} ciklu̧, kuriu̧ ilgis 100 ?

15. I̧rodykite, kad keitinio π = (1, 2, ..., n) ∈ S_{n} k-asis laipsnis π^{k} yra d =DBD(n, k) ciklu̧, kuriu̧ ilgis q = \frac{n}{d} , sandauga.