3 prarybos. Determinantai.

1. Pasinaudojȩ determinantu̧ savybėmis i̧rodykite:

| \begin{matrix}a + x & b + y & c + z \\ x + u & y + v & z + w \\ u + a & v + b & w + c \end{matrix} | = 2 | \begin{matrix}a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \end{matrix} | .

2. I̧rodykite:

| \begin{matrix}n^{2} & (n + 1)^{2} & (n + 2)^{2} \\ (n + 1)^{2} & (n + 2)^{2} & (n + 3)^{2} \\ (n + 2)^{2} & (n + 3)^{2} & (n + 4)^{2} \end{matrix} | = −8.

3. Apskaičiuokite:

(a) | \begin{matrix}246 & 427 & 327 \\ 1014 & 543 & 443 \\ −342 & 721 & 621 \end{matrix} | (b) | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ −2 & 1 & −4 & 3 \\ 3 & −4 & −1 & 2 \\ 4 & 3 & −2 & −1 \end{matrix} | .

4. I̧rodykite:

| \begin{matrix}2a & 2b & b − c \\ 2b & 2a & a + c \\ a + b & a + b & b \end{matrix} | = −2 (a − b)^{2} (a + b) .

5. I̧rodykite:

| \begin{matrix}b + c & b & c \\ c & c + a & a \\ b & a & a + b \end{matrix} | = 2a (b^{2} + c^{2}) .

6. Su kuriomis racionaliomis a ir b reikšmėmis sistemos

\{ \begin{matrix}x − 2y + bz = 3 \\ ax + 2z = 2 \\ 5x + 2y = 1 \end{matrix}

matricos determinantas ≠ 0. Šio atveju išsprȩskite sistema̧ Cramerio formulėmis.

7. Išsprȩskite lygtis:

(a) | \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 & 2t + 6 \\ 2 & 2 & 6 − t & t \end{matrix} | = 0. (b) | \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & 1 & 1 \\ x & x & 1 & 1 \\ x & x & x & 1 \end{matrix} | = 0

8. Išsprȩskite sistema̧ Cramerio formulėmis:

(a) \{ \begin{matrix}−2x + 3y − z = 1 \\ x + 2y − z = 4 \\ −2x − y + z = −3 \end{matrix} . (b) \{ \begin{matrix}3x − 2y + 3z = 17 \\ 2x + y − 5y = −12 \\ 3x + 4y − z = −1 \end{matrix}

9. I̧rodykite:

| \begin{matrix}1 + a & a & a & a \\ b & 1 + b & b & b \\ c & c & 1 + c & a \\ d & d & d & 1 + d \end{matrix} | = 1 + a + b + c + d.

10. Tegu taškai P_{i} = (x_{i}, y_{i}) , i = 1, 2, 3, 4 yra keturkampio viršūnės išdėstytos prieš laikrodžio rodyklȩ. I̧rodykite, kad šio keturkampio plotas yra lygus:

\frac{1}{2} (| \begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & x_{3} \\ y_{2} & y_{3} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{3} & x_{4} \\ y_{3} & y_{4} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{4} & x_{1} \\ y_{4} & y_{1} \end{matrix} |) .

11. FIBONACCI skaičiu̧ apibrėžimas: f_{0} = 0, f_{1} = 1, f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2}. I̧rodykite, kad n -osios eilės determinantas

f_{n+1} =\underbrace{| \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & 1 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & −1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & ⋯ & −1 & 1 \end{matrix} |\}}_{n stulpeliu̧} n eilučiu̧

kai n ≥ 1 apibrėžia Fibonaccio skaičius.