Algebros ir geometrijos pratybos informatikams. 1 pratybos.Uždaviniai.

1. I̧rodykite, kad trikampio A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}) C (x_{3}, y_{3}) ploto formulė yra

S_{△ABC} = \frac{1}{2} det ( \begin{matrix}y_{3} − y_{1} & y_{2} − y_{1} \\ x_{3} − x_{1} & x_{2} − x_{1} \end{matrix} ) .

2. Plokštumoje xy pavaizduokite aibȩ tašku̧, išreikštu̧ lygybėmis ir nelygybėmis:

1) |x| = a

2) |x| = |y| .

3) |x| < a.

4) |x| < a, |y| < b.

5) x − y ≤ 1.

6) \{ \begin{matrix}y − 2x < 2 \\ y > x + 1 \end{matrix} .

7) |x| + |y| < 1.

8) |x + y| + |x − y| ≤ 2.

3. Su kuriomis m reikšmėmis tiesiu̧ y = \sqrt{3}x ir y = x + \sqrt{m^{2} + 1} susikirtimo taško koordinatės yra

a) racionaliosios;

b) iracionaliosios.

4. Su kuriomis a ir b reikšmėmis tiesė ax + by = a + b turi bendra̧ taška̧ tik su viena koordinačiu̧ sistemos ašimi.

5. I̧rodykite, kad tiesės A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}) lygtis yra

\frac{x − x_{1}}{x_{2} − x_{1}} = \frac{y − y_{1}}{y_{2} − y_{1}} .

6. Raskite apskritimo, apibrėžto apie trikampi̧ A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}) C (x_{3}, y_{3}) , centro koordinates.

7. Raskite x ašies tašku̧, vienodai nutolusiu̧ iki duotu̧ tašku̧A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}) , koordinates. Išnagrinėkite atveji̧, kai A = (0, a) ir B = (0, b) .

8. Tegu taškai A ir B yra pokštumos xy x - o ašyje ir koordinačiu̧ pradžios taškas yra atkarpos AB vidurio taškas.Raskite geometrinȩ vieta̧ plokštumos xy tašku̧, kuriu̧ atstumu̧ iki tašku̧ A ir B santykis k yra vienodas ir k ≠ 1. Galima nagrinėti atskirus atvejus.

9. Patikrinkite, kad taškai, kuriu̧ atstumu̧ iki dvieju̧ pastoviu̧ tašku̧ kvadratu̧ skirtumas yra pastovus skaičius, yra vienoje tiesėje. Galima nagrinėti atskirus atvejus.

10. Raskite tiesiu̧ susikirtimo taškus:

1) 3x + 4y − 5 = 0 ir 2x − 6y + 7 = 0.

2) 3x − 5y + 4 = 0 ir 6x − 10y + 7 = 0.

3) 2x + 8y − 5 = 0 ir 3x + 12y − 7, 5 = 0.