Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

14 paskaita. Tiesinės transformacijos erdvėje.

Apibrėžmas. Funkcija T iš xyz− erdvės i̧ xyz− erdvȩ, T (x, y, z) = (u, v, w) , apibrėžta lygybėmis

\begin{matrix}u = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z \\ v = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z \\ w = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z \end{matrix}  (1)

vadinama tiesine transformacija.

Tiesinȩ transformacija̧ T apibrėžiančias lygybes (1) galima reikšti ir matricomis

( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ,

Taigi pati transformacija T gali būti apibrėžiama ir trumpiau

T (a) = Aa = b

čia a = ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) − vektoriai, A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) − tiesinės trans-

formacijos T matrica. Norėdami pabrėžti ryši̧ tarp transformacijos T ir jos matricos A, pačia̧ transformacija̧ žymi T_{A}, o transformacijos T (arba T_{A} ) matrica̧ žymi [T] (arba [T_{A}] ):

T (a) = [T] a
[T_{A}] = A.

Pavyzdžiai. 1) Transformacija T_{0}, apibrėžta lygybe

T_{0} (a) = 0a = 0,

čia 0− nulinė matrica, vadinama nuline transformacija. Šia̧ transformacija̧ dažnai žymi 0.

2) Transformacija T_{I}, apibrėžta lygybe

T_{I} (a) = Ia = 0,

čia I− vienetinė matrica, vadinama vienetine transformacija. Šia̧ transformacija̧ dažnai žymi I.

Svarbi pastaba. Visiškai analogiškai galima apibrėžti ir tiesines transformacija ir xy− plokštumoje: T_{A} (a) = b

b = [T_{A}] a

( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Aptarsime svarbiausias tiesines transformacijas xy− plokštumoje ir xyz− erdvėje.

1. Atspindžio transformacija.

Apibrėžimas. Atspindžio transformacija yra tiesinė transformacija kiekvienam vektoriui priskirianti vektoriu̧ simetriška̧ kurios nors tiesės arba plokštumos atžvilgiu.

1.1. Atspindžio transformacija xy− plokštumoje.

\underline{T ransformacija} \underline{Lygtys} \underline{Matrica}  \underline{F ormulė}

Atspindys y- ašies atžvilgiu

\begin{matrix}u = −x \\ v = y \end{matrix} ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

Atspindys x- ašies atžvilgiu

\begin{matrix}u = x \\ v = −y \end{matrix} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

Atspindys y = x atžvilgiu

\begin{matrix}u = y \\ v = x \end{matrix} ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

1.1. Atspindžio transformacija xyz− erdvėje.

\underline{T ransformacija} \underline{Lygtys}  \underline{Matrica}  \underline{F ormulė}

Atspindys xy- plokštumos

atžvilgiu

\begin{matrix}u = x \\ v = y \\ w = −z \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

Atspindys xz- plokštumos

atžvilgiu

\begin{matrix}u = x \\ v = −y \\ w = z \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

Atspindys yz- plokštumos

atžvilgiu

\begin{matrix}u = −x \\ v = y \\ w = z \end{matrix}

( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

2. Ortogonaliosios projekcijos transformacija.

Apibrėžimas. Ortogonaliosios projekcijos transformacija yra tiesinė transformacija kiekvienam vektoriui priskirianti to vektoriaus ortogonalia̧ja̧ projekcija̧ kurioje nors tiesėje arba plokštumoje, einančiose per koordinačiu̧ pradžia̧.

2.1. Ortogonaliosios projekcijos transformacija xy− plokštumoje.

\underline{T ransformacija} \underline{Lygtys} \underline{Matrica}  \underline{F ormulė}

Projekcija i̧ x- aši̧

\begin{matrix}u = x \\ v = 0 \end{matrix} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

Projekcija i̧ y- aši̧

\begin{matrix}u = 0 \\ v = y \end{matrix} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )

2.2. Ortogonaliosios projekcijos transformacija xyz− erdvėje.

\underline{T ransformacija} \underline{Lygtys} \underline{Matrica}  \underline{F ormulė}

Projekcija i̧ xy- plokštuma̧

\begin{matrix}u = x \\ v = y \\ w = 0 \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

Projekcija i̧ xz- plokštuma̧

\begin{matrix}u = x \\ v = 0 \\ w = z \end{matrix}

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

Projekcija i̧ yz- plokštuma̧

\begin{matrix}u = 0 \\ v = y \\ w = z \end{matrix}

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u \\ v \\ w \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} )

3. Posūkis.

Apibrėžimas. Posūkiu kampu θ xy - pokštumoje vadiname tiesinȩ transformacija̧ T^{θ}, kuri kiekviena̧ vektoriu̧ xy - plokštumoje pasuka prieš laikrodžio rodyklȩ kampu θ.

Rasime posūkio transformacijos T^{θ} matrica̧. Tegu T^{θ} (a) = b . Turime

a = (x, y) = r cos φi+r sin φj,
b = (u, v) = r cos (θ + φ) i+r sin (θ + φ) j

ir

x = r cos φ, y = r sin φ
u = r cos θ cos φ − r sin θ sin φ = x cos θ − y sin θ
v = r sin θ cos φ + r cos θ sin φ = x sin θ + y cos θ

Tada

[T^{θ}] = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} )

ir

( \begin{matrix}u \\ v \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} ) .

Apibrėžimas. Tegu l− tiesė xyz - erdvėje, einanti per koordinačiu̧ pradžia̧, ir u vektorius tiesėje l ir pradžia taške (0, 0, 0) . Teigiama tiesės posūkio kryptimi vadinsime krypti̧, gaunama̧ sukant dešinȩ ranka̧, nykščiu nukreipta̧ vektoriaus u kryptimi, sulenktu̧ pirštu̧ link (dešinės rankos taisyklė).

Posūkiu kampu θ xyz - erdvėje vadiname tiesinȩ transformacija̧ T^{θ}, kuri kiekviena̧ vektoriu̧ xyz - plokštumoje pasuka teigiama duotos tiesės posūkio kryptimi kampu θ.

\underline{T ransformacija}  \underline{Lygtys}  \underline{Matrica}

Posūkis apie x- aši̧ kampu θ

u = x
v = y cos θ − z sin θ
w = y sin θ + z cos θ

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos θ & − sin θ \\ 0 & sin θ & cos θ \end{matrix} )

Posūkis apie y- aši̧ kampu θ

u = x cos θ + z sin θ
v = 1
w = −x sin θ + z cos θ

( \begin{matrix}cos θ & 0 & sin θ \\ 0 & 1 & 0 \\ − sin θ & 0 & cos θ \end{matrix} )

Posūkis apie z- aši̧ kampu θ

u = x cos θ − y sin θ
v = x sin θ + y cos θ
w = z

( \begin{matrix}cos θ & − sin θ & 0 \\ sin θ & cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Posūkis kampu θ vektoriaus u = (a, b, c) kryptimi - tai transformacija, kurios matrica:

( \begin{matrix}a^{2} (1 − cos θ) + cos θ & ab (1 − cos θ) − c sin θ & ac (1 − cos θ) + b sin θ \\ ab (1 − cos θ) + c sin θ & b^{2} (1 − cos θ) + cos θ & bc (1 − cos θ) − a sin θ \\ ac (1 − cos θ) − b sin θ & bc (1 − cos θ) + a sin θ & c^{2} (1 − cos θ) + cos θ \end{matrix} ) .

4. Tiesinis ištempimas ir tiesinis suspaudimas. Apibrėžimas. Tegu k - neneigiamas skaičius. Tada transformacija T (a) = ka

vadinama ištempimu, jei k ≥ 1 , ir suspaudimu, jei 0 ≤ k ≤ 1.

Aišku, kad tiek ištempimo, tiek suspaudimo matricos xy - plokštumoje ir xyz - erdvėje yra

( \begin{matrix}k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} )  ( \begin{matrix}k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{matrix} )

atitinkamai. Tiesiniu̧ transformaciju̧ kompozicija. Apibrėžimas. Tegu T_{A} ir T_{B} - dvi transformacijos arba xy plokštumoje, arba

xyz erdvėje. Tada transformacija̧ T_{B} ∘ T_{A} apibrěžta̧ formule

(T_{B} ∘ T_{A}) (a) = T_{B} (T_{A} (a))

vadina tiesiniu̧ transformaciju̧ T_{A} ir T_{B} kompozicija(sandauga). Transformacija T_{B} ∘ T_{A} - tiesinė, nes

(T_{B} ∘ T_{A}) (a) = T_{B} (T_{A} (a)) = B (Aa) = (BA) a.

Taigi turime, kad

T_{B} ∘ T_{A} = T_{BA}.

Pavyzdys. T^{θ_{2}} ∘ T^{θ_{1}} = T^{θ_{2}+θ_{1}}. Tikrai

[T^{θ_{2}} ∘ T^{θ_{1}}] = [T^{θ_{2}}] · [T^{θ_{1}}] = ( \begin{matrix}cos θ_{2} & − sin θ_{2} \\ sin θ_{2} & cos θ_{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos θ_{1} & − sin θ_{1} \\ sin θ_{1} & cos θ_{1} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos θ_{2} cos θ_{1} − sin θ_{2} sin θ_{1} & − (cos θ_{2} sin θ_{1} + sin θ_{2} cos θ_{1}) \\ sin θ_{2} cos θ_{1} + cos θ_{2} sin θ_{1} & − sin θ_{2} sin θ_{1} + cos θ_{2} cos θ_{1} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos (θ_{1} + θ_{2}) & − sin (θ_{1} + θ_{2}) \\ sin (θ_{1} + θ_{2}) & cos (θ_{1} + θ_{2}) \end{matrix} )

= [T^{θ_{2}+θ_{1}}] .

Pastaba. Tiesiniu̧ transformaciju̧ kompozicijoje yra sverbi transformaciju̧ atlikimo eilės tvarka. Bendrai transformacija T_{B} ∘ T_{A} ne visada yra lygi transformacijai T_{A} ∘ T_{B}. Pavyzdžiui, tegu T_{A} atspindžio transformacija xy plokštumoje tiesės y = x atžvilgiu, o T_{B} - ortogonalioji projekcija i̧ x -aši̧. Tada

[T_{B} ∘ T_{A}] = [T_{B}] [T_{A}] = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

[T_{A} ∘ T_{B}] = [T_{A}] [T_{B}] = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

ir T_{B} ∘ T_{A} ≠ T_{A} ∘ T_{B}.