Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

12 paskaita. Plokštuma erdvėje.

Teorema. Tegu a, b, c, d tokie skaičiai, kad a^{2} + b^{2} + c^{2} ≠ 0. Tada lygybė

ax + by + cz + d = 0

yra kai kurios plokštumos tašku̧ lygtis. Kita̧ vertus, bet kurios plokštumos P lygtis turi toki̧ pavidala̧.

I̧rodymas. (⇐) . Tegu A_{0} (x_{0}, y_{0,}z_{0}) − plokštumos P taškas, o n = (a, b, c)

- vektorius, statmenas šiai ploštumai. Jei A (x, y, z) − bet kuris plokštumos P taškas, tai vektoriai A_{0}A = (x − x_{0}, y − y_{0}, z − z_{0}) ir n yra statmeni, todėl

n · A_{0}A =0

arba

a (x − x_{0}) + b (y − y_{0}) + c (z − z_{0}) = 0.

Taigi, plokštumos P lygtis yra

ax + by + cz + d = 0,

čia d = −ax_{0} − by_{0} − cz_{0}. (⇒) . Tegu x_{0}, y_{0}, z_{0} - yra lygties ax + by + cz + d = 0 sprendinys:

ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d = 0.

Tada teisinga

a (x − x_{0}) + b (y − y_{0}) + c (z − z_{0}) = 0.

Tegu apibrėžti :vektorius n = (a, b, c) , taškai A_{0} (x_{0}, y_{0,}z_{0}) ir A (x, y, z) . Tada paskutinia̧ja̧ lygybȩ galima užrašyti vektorine forma:

n · A_{0}A =0.

Turime, kad kad visi plokštumos, einančios per taška̧ A_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ir stamenos vektoriui n, taškai ir tik jie tenkina paskutinia̧ja̧ lygti̧. Todėl tai ir yra šios plokštumos lygtis, kuria̧ vadina bendra̧ja lygtimi.

I̧rodyta.

Aptarkime plokštumos P : ax + by + cy + d = 0 padėti̧ koordinatiniu̧ ašiu̧ atžvilgiu.

Galimi šie atvejai.

1) a = b = 0. Vektorius n = (0, 0, c) lygiagretus Oz ašiai. Plokštuma P lygiagreti xy plokštumai.

2) b = c = 0. Vektorius n = (a, 0, 0) lygiagretus Ox ašiai. Plokštuma P lygiagreti yz plokštumai.

3) a = c = 0. Vektorius n = (0, b, 0) lygiagretus Oy ašiai. Plokštuma P lygiagreti xz plokštumai.

4) a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Vektorius n = (0, b, c) statmenas Ox ašiai: n · i =0. Plokštuma P lygiagreti Ox ašiai.

5) a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Vektorius n = (a, 0, c) statmenas Oy ašiai: n · j =0. Plokštuma P lygiagreti Oy ašiai.

6) a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Vektorius n = (a, b, 0) statmenas Oz ašiai: n · k =0. Plokštuma P lygiagreti Oz ašiai.

7) d = 0. Plokštuma eina per taška̧ (0, 0, 0) .

Padalijȩ plokštumos P lygti̧ ax + by + cy + d = 0 iš −d ir pažymėjȩ

α = −\frac{d}{a}, β = −\frac{d}{b}, γ = −\frac{d}{c}

turėsime plokštumos lygti̧

\frac{x}{α} + \frac{y}{β} + \frac{z}{γ} = 1,

kuria̧ vadina ašine plokštumos lygtimi. Skaičiai α, β, γ koordinačiu̧ pradžios taško (0, 0, 0) atstumai iki koordinatiniu̧ ašiu̧ tašku̧, kuriuos iškerta plokštuma P : Ox ašyje taškas (α, 0, 0) , Oy ašyje taškas (0, β, 0) , Oz ašyje taškas (0, 0, γ) .

Rasime taško atstuma̧ iki duotos plokštumos.

Teorema. Taško A_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) atstumas D iki plokštumos P : ax + by + cz + d = 0, yra lygus

D = \frac{|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.

I̧rodymas. Tegu B (x_{1}, y_{1}, z_{1}) bet kuris plokštumos P taškas, o plokštumos normalės vektoriaus n = (a, b, c) pradžia yra taške B. Tada atstumas D yra lygus vektoriaus BA_{0} projekcijos i̧ vektroriu̧ n ilgiui:

D = ∥proj_{n}BA_{0}∥ = \frac{|BA_{0} · n|}{∥n∥}.

Turime

BA_{0} = (x_{0} − x_{1}, y_{0} − y_{1}, z_{0} − z_{1})
BA_{0} · n =a (x_{0} − x_{1}) + b (y_{0} − y_{1}) + c (z_{0} − z_{1})
n =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

Tada

D = \frac{|a (x_{0} − x_{1}) + b (y_{0} − y_{1}) + c (z_{0} − z_{1})|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.

Taškas B yra plokštumos P taškas, todėl jo koordinatės tenkina plokštumos P lygti̧:

ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d = 0

ir

d = −ax_{1} − by_{1} − cz_{1}.

Iš čia gauname reikiama̧ D išraiška̧. I̧rodyta.

Aptarsime dvieju̧ ir triju̧ plokštumu̧ padėti̧ erdvėje.

Teorema (dvieju̧ plokštumu̧ padėtis erdvėje). Tegu plokštumu̧ P_{1} ir P_{2} lygtys yra:

P_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0
P_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0.

1) Plokštumos P_{1} ir P_{2} lygiagrečios tada ir tik tada, kai

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} .

2) Plokštumos P_{1} ir P_{2} statmenos tada ir tik tada, kai

a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = 0.

3) Kampo tarp ploštumu̧ φ kosinusas yra lygus:

cos φ = \frac{a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .

I̧rodymas. Vektoriai n_{1}= (a_{1}, b_{1}, c_{1}) ir n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) yra normalės vektoriai plokštumoms P_{1} ir P_{2} atitinkamai. Tada

1) P_{1} ∥ P_{2} ⟺ n_{1} ∥ n_{2} ⟺ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} .

2) P_{1} ⊥ P_{1} ⟺ n_{1} ⊥ n_{2} ⟺ n_{1} · n_{2} = 0 ⇔ a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = 0.

3) Kampas φ yra kampas tarp normalės vektoriu̧ n_{1} ir n_{2}. Todėl

cos φ = \frac{n_{1} · n_{2}}{∥n_{1}∥ ∥n_{2}∥} = \frac{a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .

I̧rodyta.

Teorema (triju̧ plokštumu̧ padėtis erdvėje). Tegu plokštumu̧ P_{1}, P_{2} ir P_{3} lygtys yra:

P_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0
P_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0
P_{3} : a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z + d_{3} = 0.

1) Plokštumos P_{1}, P_{2} ir P_{3} kertasi viename taške ⟺ | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | ≠ 0.

2) Plokštumos P_{1}, P_{2} ir P_{3} yra lygiagrečios vienai tiesei ⟺ | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | = 0.

I̧rodymas. Vektoriai n_{1}= (a_{1}, b_{1}, c_{1}), n_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2}) ir n_{3} = (a_{3}, b_{3}, c_{3}) yra normalės vektoriai plokštumoms P_{1}, P_{2} ir P_{3} atitinkamai. Tada

1) Plokštumos P_{1}, P_{2} ir P_{3} kertasi viename taške ⟺ vektoriai n_{1}, n_{2} ir n_{3} nėra lygiagretūs vienai plokštumai (jei būtu̧ lygiagretūs vienai plokštumai, tai kirsdamiesi taške, kirstu̧si ir tiese)⟺vektoriai n_{1}, n_{2} ir n_{3} yra nekomplanarūs⟺

n_{1} · (n_{2} × n_{3}) ≠ 0 ⟺ | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | ≠ 0.

2) Plokštumos P_{1}, P_{2} ir P_{3} yra lygiagrečios vienai tiesei ⟺vektoriai n_{1}, n_{2} ir n_{3} lygiagretūs vienai plokštumai⟺vektoriai n_{1}, n_{2} ir n_{3} yra komplanarūs⟺

n_{1} · (n_{2} × n_{3}) = 0 ⟺ | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | = 0.

I̧rodyta.

Galima viena iš aštuoniu̧ triju̧ plokštumu̧ P_{1}, P_{2} ir P_{3} padėčiu̧ erdvėje. Jas aprašysime tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos

\{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0 \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0 \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z + d_{3} = 0 \end{matrix}

sprendiniais. Pažymėkime sistemos matrica̧ A, o sistemos išplėstinȩ matrica̧ B. Tada: rankA = 1, rankB = 2

1) sistema nesuderinta ⇒ Plokštumos P_{1}, P_{2} ir P_{3} yra lygiagrečios⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3}

- kolinearūs ir

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} ≠ \frac{d_{1}}{d_{2}}
\frac{a_{1}}{a_{3}} = \frac{b_{1}}{b_{3}} = \frac{c_{1}}{c_{3}} ≠ \frac{d_{1}}{d_{3}}
\frac{a_{2}}{a_{2}} = \frac{b_{2}}{b_{2}} = \frac{c_{2}}{c_{2}} ≠ \frac{d_{2}}{d_{2}}

2) sistema nesuderinta ⇒ dvi plokštumos sutampa ir lygiagrečios trečia̧jai⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3} - kolinearūs ir

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}}
\frac{a_{1}}{a_{3}} = \frac{b_{1}}{b_{3}} = \frac{c_{1}}{c_{3}} ≠ \frac{d_{1}}{d_{3}}

rankA = 2, rankB = 3

3) sistema nesuderinta ⇒ dvi plokštumos lygiagrečios viena kitai ir nelygiagrečios trečiai⇔ n_{1}, n_{2} - kolinearūs, n_{3} nekolinearus ir

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} ≠ \frac{d_{1}}{d_{2}}

4) sistema nesuderinta ⇒ dvi plokštumos kertasi teise, lygiagrečia trečia̧jai plokštumai⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3} - komplanarūs ir poromis nekolinearūs

rankA = 3

5) sistema suderinta ⇒ plokštumos kertasi viename taške⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3} -nekomplanarūs

rankA =rankB = 1

6) sistema suderinta ⇒ visos plokštumos sutampa⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3} - kolinearūs ir

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}}
\frac{a_{1}}{a_{3}} = \frac{b_{1}}{b_{3}} = \frac{c_{1}}{c_{3}} = \frac{d_{1}}{d_{3}}

rankA =rankB = 2

7) sistema suderinta ⇒ dvi plokštumos sutampa ir nelygiagrečios trečia̧jai⇔ n_{1}, n_{2} - kolinearūs, n_{3} nekolinearus ir

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{d_{1}}{d_{2}}

8) sistema suderinta ⇒ dvi plokštumos kertasi teise, esančia trečioje plokštumoje⇔ n_{1}, n_{2}, n_{3} - komplanarūs ir poromis nekolinearūs.