Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

10 paskaita. Simetriju̧ grupės. Ciklinės grupės. Cayley teorema.

Apibrėžimas. Geometrinės figūros F atvaizdis i̧ ja̧ pačia̧, nekeičiantis atstumu̧ tarp figūros tašku̧, vadinamas figūros F simetrija.

Tegu g_{1} ir g_{2} yra figūros F simetrijos, t.y. funkcijos g_{1}, g_{2} : F → F, nekeičiančios atstumu̧ tarp figūros tašku̧:

distance( A, B) = distance(g_{1} (A) , g_{1} (B)) = distance(g_{2} (A) , g_{2} (B)) , čia A, B ∈ F. Simetriju̧ g_{1} ir g_{2} kompozicija g_{1} ∘ g_{2} : (g_{1} ∘ g_{2}) (A) = g_{1} (g_{2} (A)) yra simetrija.

Simetriju̧ g_{1} ir g_{2} kompozicija̧ g_{1} ∘ g_{2} vadinsime simetriju̧ g_{1} ir g_{2} sandauga ir žymėsime g_{2} · g_{1} arba tiesiog g_{2}g_{1}, t.y. g_{2}g_{1} = g_{1} ∘ g_{2}.

Trikampio posūkiu̧ grupė. Tegu turime lygiakrašti̧ trikampi̧ ACB (viršūnės rašomos pagal laikrodžio

rodyklȩ)ir O− šio trikampio centras. Trikampio ACB posūki̧ 120^{∘} kampu prieš laikrodžio rodyklȩ centro O atžvilgiu pažymėkime raide a. Aišku, kad a yra trikampio ACB simetrija. a galima užrašyti ir taip:

a = ( \begin{matrix}A & B & C \\ B & C & A \end{matrix} ) ,

čia viršutinėje eilutėje išvardintos trikampio viršūnės, o apatinėje nurodyta kur kokia viršūnė pereina atlikus posūki̧ a.

Panašiai apibrėžiamas trikampio ACB posūkis 240^{∘} kampu prieš laikrodžio rodyklȩ centro O atžvilgiu: pažymėkime raide b. Tada

b = ( \begin{matrix}A & B & C \\ C & A & B \end{matrix} ) .

Tegu e− trikampio ACB posūkis 0^{∘} kampu prieš laikrodžio rodyklȩ centro O atžvilgiu:

e = ( \begin{matrix}A & B & C \\ A & B & C \end{matrix} ) .

Teorema. Lygiakraščio trikampio( arba tiesiog trikampio) posūkiai e, a, b simetriju̧ sandaugos atžvilgiu yra grupė D = ({e, a, b} , ·) .

I̧rodyti paliekame skaitytojui. Pateiksime trikampio posūkiu̧ grupės veiksmu̧ lentelȩ:

\begin{matrix}· & e & a & b \\ e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a \end{matrix} ,

čia veiksmu̧ lentelėje esanti sandauga g_{1} · g_{2} reiškia, kad g_{1} imamas iš lentelės eilutės, o g_{2} - iš lentelės stulpelio.

Trikampio simetriju̧ grupė. Be minėtu̧ posūkiu̧ e, a, b yra dar trys lygiakraščio trikampio ACB simetrijos

pusiaukraštiniu̧ AL, BM, CN atžvilgiu:

c = ( \begin{matrix}A & B & C \\ A & C & B \end{matrix} ) , d = ( \begin{matrix}A & B & C \\ C & B & A \end{matrix} ) , f = ( \begin{matrix}A & B & C \\ B & A & C \end{matrix} ) .

Teorema. Lygiakraščio trikampio( arba tiesiog trikampio) simetrijos e, a, b, c, d, f simetriju̧ sandaugos atžvilgiu yra grupė S = ({e, a, b, c, d, f} , ·) .

I̧rodyti paliekame skaitytojui. Pateiksime trikampio posūkiu̧ grupės veiksmu̧ lentelȩ:

\begin{matrix}· & e & a & b & c & d & f \\ e & e & a & b & c & d & f \\ a & a & b & e & f & c & d \\ b & b & e & a & d & f & c \\ c & c & d & f & e & a & b \\ d & d & f & c & b & e & a \\ f & f & c & d & a & b & e \end{matrix} .

Panašiai galima apibrėžti stačiakampio posūkiu̧, stačiakampio simetriju̧, kvadrato posūkiu̧, kvadrato simetriju̧, rombo simetriju̧, tasyklingojo n-kampio posūkiu̧ grupes.

Bet kokios algebrinės struktūros tyrimas prasideda nuo postruktūriu̧ nagrinėjimo. Nenusižengsime ir mes šiai tradicijai ir pradėsime apibrėžimu.

Apibrėžimas. Tegu G yra grupė. Poaibis H ⊆ G vadinamas grupės G pogrupiu( arba tiesiog pogrupiu), jei

1) su visais h ∈ H teisinga h^{−1} ∈ H

2) su visais h_{1}, h_{2} ∈ H teisinga h_{1}h_{2} ∈ H.

Iš apibrėžimo turime, kad grupės G pogrupis H yra pats grupė. Mes rašysime H ≤ G arba H < G. Kiekviena grupė G turi du trivialius pogrupius: {e} ≤ G ir G ≤ G. Galėtume pateikti ir daugiau pogrupiu̧ pavyzdžiu̧. Tačiau apsiribokime tomis grupėmis, kurias paminėjome šiame skyriuje:

• D < S.

• {e, c} < S ,- 2 eilės pogrupis.

• {e, d} < S ,- 2 eilės pogrupis.

• {e, f} < S, ,- 2 eilės pogrupis.

Pastebėkime, kad tai ir yra visi netrivialūs trikampio simetriju̧ grupės pogrupiai. Beto jie visi pasižymi tuo, kad jie yra vieno kurio nors elemento laipsniai, pvz.: D = {e, a, a^{2}} , nes a^{2} = b, o e = a^{0}. Apibendrinsime ši̧ pastebėjima̧.

Teiginys. Tegu g ∈ G. Tada

⟨g⟩ = {g^{k}|k = 0, ±1, ±2, ...}

yra grupės G pogrupis, generuojamas elementu g. Šia̧ grupȩ vadina cikline grupe generuojama g.

I̧rodymas paliekamas skaitytojui.

Mes jau žinome nemažai cikliniu̧ grupiu̧ pavyzdžiu̧. Paminėsime svarbiausius:

• sveiku̧ju̧ skaičiu̧ grupė (Z,+) = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩ yra begalinė ciklinė grupė

• grupė (Z_{n}, +) = \left⟨{ \atop ¯1}\right⟩ yra baigtinė ciklinė grupė.

Ciklinės grupės i̧galina apibrėžti grupės elemento eilȩ: grupės G elemento g ∈ G eile vadina ciklinės grupės, generuotos elementu g, ⟨g⟩ ≤ G, eilȩ ir žymi ord(g) = |⟨g⟩| .

Pastebėsime, kad mūsu̧ paminėti cikliniu̧ grupiu̧ pavyzdžiai yra svarbiausi, nes visos ciklinės grupės yra izomorfiškos arba sveiku̧ju̧ skaičiu̧ grupei Z, arba vienai iš grupiu̧ Z_{n,}n ∈ N, priklausomai nuo to, ar kalbama apie begalinȩ, ar apie baigtinȩ ciklinȩ grupȩ.

Teorema apie ciklines grupes. 1. Baigtinė ciklinė grupė ⟨g⟩_{n}, kurioje yra n elementu̧, yra izomorfinė grupei Z_{n} :

⟨g⟩_{n} = ({g, g^{2}, ..., g^{n−1}, g^{n} = e} , +) ≈ (Z_{n}, +) .

2. Begalinė ciklinė grupė ⟨g⟩ yra izomorfinė grupei Z.

I̧rodymas. 1. Funkcija φ_{n} : Z_{n} → ⟨g⟩_{n} , apibrėžta formule φ_{n} \binom{}{k̄} = g^{k} yra izomorfizmas:

a) φ_{n} yra abipus vienareikšmė funkcija, nes, jei φ_{n} \binom{}{k̄} = φ_{n} \binom{}{l̄} , tai g^{k} = g^{l} , 0 ≤ k ≤ l ≤ n − 1, ir g^{l−k} = e ir todėl l = k ir l̄= k̄.

b) Turime

φ_{n} (k̄ + l̄) = [ \begin{matrix}φ_{n} (\overline{k + l}) , kai k + l < n \\ φ_{n} (\overline{k + l − n}) , kai k + l ≥ n \end{matrix}

= [ \begin{matrix}g^{k+l} \\ g^{k+l−n} = g^{k+l−n}g^{n} = g^{k+l} \end{matrix}

= g^{k}g^{l} = φ_{n} \binom{}{k̄} φ_{n} \binom{}{l̄} .

2. Funkcija φ_{0} : Z → ⟨g⟩ , apibrėžta formule φ_{0} (k) = g^{k} yra izomorfizmas:

a) φ_{0} yra abipus vienareikšmė funkcija, nes, jei φ_{0} (k) = φ_{0} (l) , tada ir tik tada, jei g^{k} = g^{l} , ir g^{l−k} = e ir todėl l − k = 0 ir k = l.

b) Turime

φ_{0} (k + l) = g^{k+l} = g^{k} g^{l} = φ_{0} (k) φ_{0} (l) .

I̧rodyta.

Dabar parodysime, kad i̧ bet kuria̧ baigtinȩ grupȩ galima žiūrėti kaip i̧ keitiniu̧ grupės S_{n} pogrupi̧.

Teorema(A.Cayley). Tegu (G, ·) yra baigtinė grupė, turinti n elementu̧. Tada egzistuoja funkcija

f : G → S(G) = S_{n},

tenkinanti savybes

f (g_{1}) = f (g_{2}) ⟺ g_{1} = g_{2}, (injektyvumas)
f (g · h) = f (g) ∘ f (h) . (homomorfizmas)

I̧rodymas.∀a ∈ G konstruojame keitini̧ L_{a} : G → G , L_{a}(g) = g · a . Taigi

L_{a} = ( \begin{matrix}g_{1} & g_{2} & ⋯ & g_{n} \\ g_{1}a & g_{2}a & ⋯ & g_{n}a \end{matrix} )

ir L_{a} ∈ S_{n} . Turime aibiu̧ lygybȩ

{g_{1}, g_{2}, ..., g_{n}} = {g_{1} · a, g_{2} · a, ..., g_{n} · a} = G.

Turime

1) L_{a} ∈ S_{n},

2) L_{a}^{−1} = L_{a^{−1}},

3) L_{a·b} (g) = g · (a · b) = (g · a) · b = L_{b} (L_{a} (g)) = (L_{a} ∘ L_{b}) (g) , taigi, L_{a·b} = L_{a} ∘ L_{b}.

Gavome, kad keitiniai L_{g_{1}}, L_{g_{2}}, ..., L_{g_{n}} sudaro grupȩ H ⊂ S (G) = S_{n}. Funkcija f : G → H ⊂ S_{n} apibrėžta formule f (g) = L_{g} . I̧rodyta. Pavyzdys1. Rombo simetriju̧ grupės i̧dėjimas i̧ simetrinȩ grupȩ. Tegu G = {e, a, b, c} - rombo simetriju̧ grupė. Čia e ir a posūkiai atitinkamai

0^{∘} ir 180^{∘} kampu, o b ir c simetrijos i̧strižainiu̧ atžvilgiu. Tada veiksmu̧ lentelė šioje grupėje

\begin{matrix}· & e & a & b & c \\ e & e & a & b & c \\ a & a & e & c & b \\ b & b & c & e & a \\ c & c & b & a & e \end{matrix}

ir L_{e} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ e & a & b & c \end{matrix} ) = id , L_{a} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ a & e & c & b \end{matrix} ) = (ea) (bc) , L_{b} =

( \begin{matrix}e & a & b & c \\ b & c & e & a \end{matrix} ) = (eb) (ac) , L_{c} = ( \begin{matrix}e & a & b & c \\ c & b & a & e \end{matrix} ) = (ec) (ab) .

Pavyzdys 2. Ciklinės grupės ( pvz. n-ojo laipsnio šaknu̧ iš 1 multiplikacinės grupės) i̧dėjimas i̧ simetrinȩ grupȩ.

Tegu ε - primityvioji n-ojo laipsnio šaknis iš vieneto. Tada visos n-ojo laipsnio šaknis iš vieneto yra primityviosios šaknies ε laipsniai : ε, ε^{2}, ..., ε^{n−1}, ε^{n} = 1 ir

L_{ε} = ( \begin{matrix}ε & ε^{2} & ε^{3} & ⋯ & ε^{n−1} & ε^{n} \\ ε^{2} & ε^{3} & ε^{4} & ⋯ & ε^{n} & ε \end{matrix} )

L_{ε^{2}} = ( \begin{matrix}ε & ε^{2} & ε^{3} & ⋯ & ε^{n−1} & ε^{n} \\ ε^{3} & ε^{4} & ε^{5} & ⋯ & ε^{n+1} & ε^{n+2} \end{matrix} )

ir t.t. Pavyzdžiui, kai n = 6 turime reiškima̧ keitiniais:

L_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \end{matrix} ) = (123456)

L_{2} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \end{matrix} ) = (135) (246)

L_{3} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} ) = (14) (25) (36)

L_{4} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ) = (153) (264)

L_{5} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix} ) = (165432)

L_{6} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) = id.