Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas. Rimantas Grigutis

7 paskaita. Matricos.

Matrica yra stačiakampė lentelė su joje i̧rašytais skaičiais. Matricu̧, kuriose yra m eilučiu̧ ir n stulpeliu̧, sakysime m × n matricos, aibȩ žymėsime M_{m×n} (F) , čia F − arba Q, arba R. Pačias matricas žymėsime didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, o lygybė A = (a_{ij}) reikš, kad matricos elementai yra skaičiai a_{ij}. Pats skaičius a_{ij} yra i− oje eilutėje ir j− ame stulpelyje. Dažnai skaičiu̧ a_{ij} žymi ir taip : a_{ij} = (A)_{ij} .

Sakysime, kad matricos A = (a_{ij}) ir B = (b_{ij}) yra lygios, jei jos yra to pačio dydžio, ir a_{ij} = b_{ij} su visais i ir j.

Matricu̧ aibėje M_{m×n} (F) yra apibrėžiami šie veiksmai:

Matricu̧ sudėtis: A + B = (a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij}) . Matricos daugyba iš skaičiaus: λ · A = λ · (a_{ij}) = (λa_{ij}) .

Apibrėžimai. 1) Matricos A priešinga matrica vadinsime matrica̧ (−1) · A = −A.

2) Matrica̧ O = (o_{ij}) ∈ M_{m×n} (F) , o_{ij} = 0 su visais i ir j, vadinsime nuline matrica.

Matricu̧ aibėje M_{m×n} (F) , kurioje apibrėžti sudėties ir daugybos iš skaičiaus veiksmai, yra teisingos šios savybės( čia λ, μ− skaičiai, A, B ir C− matricos iš M_{m×n} (F) ):

V1.(sudėties asociatyvumas) (A + B) + C = A + (A + C) . V2.(sudėties komutatyvumas) A + B = B + A. V3.(nulinės matricos egzistavimas) O + A = A. V4.(priešingos matricos egzistavimas) A + (−A) = O. V5. (λ + μ) A = λA + μA. V6. λ (A + B) = λA + λB. V7. (λμ) A = λ (μA) . V8. 1 · A = A.

Apibrėžimas. Matematiniu̧ objektu̧ aibė, kurioje apibrėžta sudėtis ir daugyba iš skaičiaus, priklausančio F, ir šie veiksmai tenkina savybes V1−V8 vadinama vektorine erdve virš F.

Turime, kad matricu̧ aibė M_{m×n} (F) yra vektorinė erdvė virš F. Tuo atveju, kai m = 1, sakome, kad turime eilučiu̧ vektorinȩ erdvȩ M_{1×n} (F) = F^{n} ( vadiname aritmetine eilučiu̧ vektorine erdve), o kai n = 1, sakome, kad turime stulpeliu̧ vektorinȩ erdvȩ M_{m×1} (F) = F_{m} ( vadiname aritmetine stulpeliu̧ vektorine erdve).

Tegu A_{1}, ..., A_{s} ∈ M_{m×n} (F) , o α_{1}, ..., α_{s} ∈ F. Matrica̧ α_{1}A_{1}+⋯+α_{s}A_{s} vadina matricu̧ A_{1}, ..., A_{s} tiesine kombinacija. Parodysime, kaip tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧ reikšti stulpeliu̧ tiesine kombinacija.

Tegu turime tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} :

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} . (1)

Apibrėžkime stulpelius:

A_{1} = ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ ⋯ \\ a_{m1} \end{matrix} ) , A_{2} = ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ ⋯ \\ a_{m2} \end{matrix} ) , ..., A_{n} = ( \begin{matrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ ⋯ \\ a_{mn} \end{matrix} ) ir B = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ ⋯ \\ b_{m} \end{matrix} ) .

Tada sistema̧ (1) galima užrašyti ir taip:

x_{1}A_{1} + x_{2}A_{2} + ⋯ + x_{n}A_{n} = B.

Taigi, norint išsprȩsti tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema̧ (1) reikia mokėti stulpeli̧ B reikšti stulpeliu̧ A_{1}, A_{2}, ..., A_{n} tiesine kombinacija.

Apibrėžimas. Matricu̧ A ir B sandauga A · B = AB apibrėžiama tik tada kai matricos A stulpeliu̧ skaičius sutampa su matricos B eilučiu̧ skaičiumi. Jeigu A = (a_{ij}) ∈ M_{m×n} ir B = (b_{ij}) ∈ M_{n×l} , tai matrica AB ∈ M_{m×l} ir

(AB)_{ij} = ∑_{s=1}^{n} (A)_{is} (B)_{sj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ⋯ + a_{in}b_{nj}.

Pavyzdžiai.

1) ( 1 2 3 ) ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & −4 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) = ( 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 1 1 · (−1) + 2 · (−4) + 3 · 3) =

( 10 0 ) .

2) Sandauga ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 3 & −4 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) ( 1 2 3 ) neapibrėžta.

3) ( \begin{matrix}3 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ 4 & 7 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}11 & 41 \\ 5 & 16 \end{matrix} )

4) ( \begin{matrix}−3 & 2 \\ 4 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}3 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−7 & −11 \\ 19 & 34 \end{matrix} ) .

.

Matome, kad sandauga tarp matricu̧ ne visada apibrėžta, o kai net apibrėžta - ne visada komutatyvi: paskutiniai pavyzdžiai rodo, kad ne visada AB = BA.

Tiesinu̧ lygčiu̧ sistema̧ (1) galima užrašyti ir taip:

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ⋯ & a_{2n} \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ a_{m1} & a_{m2} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b_{1} \\ b_{2} \\ ⋯ \\ b_{m} \end{matrix} ) .

Matricu̧ sandaugos veiksmo savybės: S1. λ (AB) = (λA) B = A (λB) . S2.( sandaugos asociatyvumas) (AB) C = A (BC) . S3. (distributyvumas) (A + B) C = AC + BC. S4. (distributyvumas) D (A + B) = DA + DB. I̧rodysime sandaugos asociatyvuma̧.

Jeigu lygybės (AB) C = A (BC) abi pusės yra apbrėžtos, tai A ∈ M_{m×n}, B ∈ M_{n×r}, C ∈ M_{r×s} . Tada AB ∈ M_{m×r} , (AB) C ∈ M_{m×s} ir BC ∈ M_{n×s} , A (BC) ∈ M_{m×s}. Taigi matricos (AB) C ir A (BC) yra to pačio dydžio. Turime

((AB) C)_{ij} = ∑_{u=1}^{r} (AB)_{iu} · (C)_{uj} = ∑_{u=1}^{r} ( ∑_{v=1}^{n} (A)_{iv} (B)_{vu}) · (C)_{uj} =

∑_{u=1}^{r} ( ∑_{v=1}^{n} ((A)_{iv} (B)_{vu}) · (C)_{uj}) = ∑_{v=1}^{n} ( ∑_{u=1}^{r} (A)_{iv} · ((B)_{vu} (C)_{uj})) =

∑_{v=1}^{n} ((A)_{iv} · ∑_{u=1}^{r} ((B)_{vu} (C)_{uj})) = ∑_{v=1}^{n} ((A)_{iv} · (BC)_{vj}) = (A (BC))_{ij} .

Čia pasinaudojome skaičiu̧ distributyvumo savybe:

∑_{u=1}^{r} ∑_{v=1}^{n} d_{uv} = ∑_{u=1}^{r} (d_{u1} + d_{u2} + ⋯ + d_{un}) =

(d_{11} + d_{12} + ⋯ + d_{1n})+(d_{21} + d_{22} + ⋯ + d_{2n})+⋯+(d_{r1} + d_{r2} + ⋯ + d_{rn}) = (d_{11} + d_{21} + ⋯ + d_{r1})+(d_{12} + d_{22} + ⋯ + d_{r2})+⋯+(d_{1n} + d_{2n} + ⋯ + d_{rn}) =

∑_{v=1}^{n} (d_{1v} + d_{2v} + ⋯ + d_{rv}) = ∑_{v=1}^{n} ∑_{u=1}^{r} d_{uv}.

I̧rodyta.

Paaiškinsime matricu̧ sandaugos veiksmo apibrėžima̧ tiesininiu̧ keitiniu̧ kompozicijos veiksmu. Tegu turime du tiesinius kintamu̧ju̧ keitinius:

y_{1} = b_{11}x_{1} + b_{12}x_{2} + ⋯ + b_{1n}x_{n} y_{2} = b_{21}x_{1} + b_{22}x_{2} + ⋯ + b_{2n}x_{n} .................................................. y_{k} = b_{k1}x_{1} + b_{k2}x_{k} + ⋯ + b_{kn}x_{n}

ir

z_{1} = a_{11}y_{1} + a_{12}y_{2} + ⋯ + a_{1k}y_{n} z_{2} = a_{21}y_{1} + a_{22}y_{2} + ⋯ + a_{2k}y_{n} .................................................. z_{m} = a_{m1}y_{1} + a_{m2}y_{2} + ⋯ + a_{mk}y_{n} .

Užrašykime šiuos keitinius matricomis:

( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ ⋯ \\ y_{k} \end{matrix} ) = B ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) ir ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ ⋯ \\ z_{m} \end{matrix} ) = A ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ ⋯ \\ y_{k} \end{matrix} ) ,

čia A = (a_{ij}) ∈ M_{m×k} ir B = (b_{ij}) ∈ M_{k×n} - keitiniu̧ matricos. Tada tiesinio keitinio ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ ⋯ \\ z_{m} \end{matrix} ) = C ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) matrica C = AB.

Apibrėžimas. Kvadratinė matrica I_{n} = (δ_{ij}) ∈ M_{n×n}, δ_{ij} = [ \begin{matrix}1, kai i = j \\ 0, kai i ≠ j \end{matrix} vadinama n− osios eilės vienetine matrica.

Akivaizdu ,kad su visomis matricomis A ∈ M_{r×n} ir B ∈ M_{n×s} teisingos lygybes:

A · I_{n} = I_{r} · A = A ir I_{n} · B = B · I_{s} = B.

Apibrėžimas. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) . Matrica̧ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{m1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1n} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )

vadiname transponuota matrica. Turime (A^{T} )_{ij} = (A)_{ji} . Matricos transponavimo operacija tenkina šias savybes: T1. (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} , kai A, B ∈ M_{m×n}. T2. (λA)^{T} = λ · A^{T} , su visais λ. T3. (AB)^{T} = B^{T} · A^{T} , kai A ∈ M_{m×r}, B ∈ M_{r×n}. T4. (A^{T} )^{T} = A. I̧rodysime T3 savybȩ.

((AB)^{T} )_{ij} = (AB)_{ji} = ∑_{u=1}^{r} (A)_{ju} (B)_{ui} =

∑_{u=1}^{r} (A^{T} )_{uj} (B^{T} )_{iu} = ∑_{u=1}^{r} (B^{T} )_{iu} (A^{T} )_{uj} = (B^{T} · A^{T} )_{ij} .

I̧rodyta.

Nagrinėkime kvadratiniu̧ matricu̧ aibȩ M_{n×n} (F) = M_{n}. Aibėje M_{n} apibrėžtos matricu̧ sumos, matricos sandaugos iš skaičiaus ir matricu̧ sandaugos sandaugos operacijos. Šiu̧ operaciju̧ atžvilgiu teisingos savybės:

V1-V8; S1-S4. Beto teisinga savybė:

S5.(vienetinės matricos egzistavimas) A · I_{n} = I_{n} · A = A su visomis A ∈ M_{n}.

Apibrėžimas. Matematiniu̧ objektu̧ aibė, kurioje apibrėžta sudėtis , daugyba iš skaičiaus, priklausančio F, ir daugyba, ir šie veiksmai tenkina savybes V1−V8 ir S1-S4 vadinama algebra virš F.

Turime, kad kvadratiniu̧ matricu̧ aibė M_{n} (F) yra algebra virš F. Pačios skaitinės aibės Q ir R yra algebros virš saves. Atsižvelgȩ i̧ tai, kad

λ · A = (λI_{n}) · A su visomis A ∈ M_{n} (F) ir λ ∈ F,

i̧ kvadratiniu̧ matricu̧ algebra̧ M_{n} (F) galima žiūrėti kaip i̧ aibės F ”išplėtima̧”, jeigu skaičiu̧ λ sutapatinsime su matrica λ·I_{n}. Funkcija f : λ → λ·I_{n} yra bijekcija iš algebros F i̧ algebra̧ M_{n} (F) , tenkinanti savybes( sako: ”išlaiko operacijas”):

f (λ + μ) = f (λ) + f (μ)
f (λ · μ) = f (λ) · f (μ) .

Pastebėkime, kad skaitinės algebros Q ir R (abi jas mes žymime raide F)pasižymi dar dviejomis sandaugos veiksmo savybėmis:

S6.(sandaugos komutatyvumas) Su visais λ ir μ ∈ F teisinga λ · μ = μ · λ. S7.(atvirkštinio elemento egzistavimas)Kiekvienam λ ≠ 0, λ ∈ F egzistuoja

atvirkštinis skaičius: λ^{−1} = \frac{1}{λ} : λ · (λ^{−1}) = 1.

Apibrėžimas. Matematiniu̧ objektu̧ aibė, kurioje apibrėžta sudėtis ir daugyba, ir šie veiksmai tenkina savybes analogiškos savybėms V1−V4 ir S2-S7 vadinama kūnu.

Taigi, turime realiu̧ju̧ skaičiu̧ kūna̧ R ir racionaliu̧ju̧ skaičiu̧ kūna̧ Q. Atkreipkime dėmesi̧ i̧ tai, kad sveiku̧ju̧ skaičiu̧ aibė Z nėra kūnas, nes joje neišpildyta savybė S7.

Mes jau žinome, kad kvadratiniu̧ matricu̧ aibėje M_{n} (F) negalioja sandaugos komutatyvumo savybė ( ne su visomis matricomis teisinga AB = BA). Aptarkime dabar kvadratiniu̧ matricu̧ aibėje savybȩ S7.

Apibrėžimas. Sakome, kad kvadratinė matrica A ∈ M_{n} (F) turi atvirkštinȩ matrica̧, jeigu egzistuoja tokia kvadratinė matrica B ∈ M_{n} (F) , kad

AB = BA = I_{n}.

Teiginys (atvirkštinės matricos vienatinumas). Jeigu B ir C yra matricos A atvirkštinės, tai B = C.

I̧rodymas.Tegu matricos B ir C yra matricos A atvirkštinės: AB = BA = I_{n} ir AC = CA = I_{n}. Tada

B = BI_{n} = B (AC) = (BA) C = I_{n}C = C

I̧rodyta.

Pastaba. Matricos A atvirkštinȩ matrica̧ žymi A^{−1} :

AA^{−1} = A^{−1}A = I_{n}.

Teorema. Tegu A ∈ M_{n} (F) . Visos žemiau pateiktos sa̧lygos yra ekivalenčios.

1. Matrica A - neišsigimusi.

2. Homogeniniu̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema AX = O turi vienintėli̧ sprendini̧. Čia

X = ( \begin{matrix}x_{1} \\ ⋯ \\ x_{n} \end{matrix} ) ir O = ( \begin{matrix}0 \\ ⋯ \\ 0 \end{matrix} ) .

3. det A ≠ 0.

4. Matrica A turi atvirkštinȩ matrica̧.

5. Su kiekvienu stulpeliu B = ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} ) tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema AX = B suder-

inta.

Prieš i̧rodant šia̧ teorema̧ be i̧rodymo suformuluosime teigini̧, kuriuo pasinaudosime teoremos i̧rodyme.

Teiginys. Tegu matricos A ir B tokios, kad apibrėžta AB. Tada

rank(AB) ≤rankA,
rank(AB) ≤rankB.

Teoremos i̧rodymas. Jau aukščiau matėme, kad 1 ⇔ 2 (išvada iš Kroneckerio-Capellio teoremos) ir 1 ⇔ 3 (praeitos paskaitos teiginys). Dabar i̧rodysime teiginius 1 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 1.

1 ⇒ 5. Turime, kad rankA = n. Tada

rankA ≤rank(A|B) ≤ n.

Todėl

rankA =rank(A|B) = n

ir pagal Kroneckerio-Capellio teorema̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema AX = B suderinta.

I̧rodyta.

5 ⇒ 4. Turime, kad su kiekvienu stulpeliu B = ( \begin{matrix}b_{1} \\ ⋯ \\ b_{n} \end{matrix} ) tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema

AX = B suderinta.

Tegu stulpelis X_{1} yra sistemos AX = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ ⋯ \\ 0 \end{matrix} ) sprendinys, stulpelis X_{2} - sis-

temos AX = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ ⋯ \\ 0 \end{matrix} ) sprendinys , ..., stulpelis X_{n} - sistemos AX = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ ⋯ \\ 1 \end{matrix} )

sprendinys. Tada kvadratinei matricai Y = (X_{1}|X_{2}| ⋯ |X_{n}) teisinga:

AY = (AX_{1}|AX_{2}| ⋯ |AX_{n}) = ( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ) = I_{n}.

Parodysime, kad teisinga ir Y A = I_{n}, t.y. matrica Y = A^{−1}. Turime

n = rankI_{n} = rankAY = rankY ≤ n.

Todėl rankY = n ir matricai Y, kaip ir matricai A, galioja 5 sa̧lyga, iš kurios mes gauname, kad egzistuoja matrica Z, su kuria Y Z = I_{n}.

Tada

Y A = Y AI_{n} = Y AY Z = Y I_{n}Z = Y Z = I_{n}.

I̧rodyta. 4 ⇒ 1. Tegu matrica A turi atvirkštinȩ:

AA^{−1} = A^{−1}A = I_{n}.

Tada

rankAA^{−1} =rankI_{n} = n

ir

n =rankAA^{−1} ≤rankA ≤ n,

todėl rankA = n ir matrica A yra neišsigimusi. I̧rodyta. Teorema i̧rodyta.

Teiginys( atvirkštiniu̧ matricu̧ savybės). Tegu A, B ∈ M_{n} (F) − matricos, turinčios atvirkštines. Tada:

1. AB− matrica, turinti atvirkštinȩ, ir (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}.

2. A^{−1}− matrica, turinti atvirkštinȩ, ir (A^{−1})^{−1} = A.

3. Matrica I_{n} turi atvirkštinȩ.

4. Matrica A^{T} turi atvirkštinȩ: (A^{T} )^{−1} = (A^{−1})^{T} .

I̧rodymas.1. (AB) (B^{−1}A^{−1}) = A (BB^{−1}) A^{−1} = AI_{n}A^{−1} = AA^{−1} = I_{n} ir (B^{−1}A^{−1}) (AB) = B^{−1} (A^{−1}A) B = B^{−1}I_{n}B = B^{−1}B = I_{n}. 2 ir 3. akivaizdu.

4. A^{T} (A^{−1})^{T} = (A^{−1}A)^{T} = I_{n}^{T} = I_{n} ir (A^{−1})^{T} A^{T} = (AA^{−1})^{T} = I_{n}^{T} = I_{n}. I̧rodyta.