Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas.Rimantas Grigutis

6 paskaita. Tiesinės lygčiu̧ sistemos.

Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema vadiname sistema̧:

\{ \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ ⋯ \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} \end{matrix} , (1)

čia a_{ij}, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, yra skaičiai. Skaičiu̧ α_{1}, α_{2}, ..., α_{n} seka vadinama sistemos (1) sprendiniu, jei

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ a_{21}α_{1} + a_{22}α_{2} + ⋯ + a_{2n}α_{n} = b_{2} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} .

Su kiekviena tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema susijusios dvi matricos:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ & ⋯ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) - tiesinės lygčiu̧ sistemos (1) matrica,

B = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} & | & b_{1} \\ & & ⋯ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} & | & b_{m} \end{matrix} ) - tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos (1) išplėstoji matrica.

Apibrėžimas. Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema turinti bent viena̧ sprendini̧ vadinama suderinta, priešingu atveju - nesuderinta. Dvi tiesinės lygčiu̧ sistemos vadinamos ekvivalenčiomis, jei šiu̧ sistemu̧ spendiniu̧ aibės sutampa.

Elementarūs tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos pertvarkiai:

1. i - osios ir j -osios lygčiu̧ keitimas vietomis.

2. i -osios lygties daugyba iš nenulinio skaičiaus.

3. j -osios lygties, padaugintos iš skaičiaus, pridėjimas prie i -osios lygties.

Elementarūs tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos matricu̧ A ir B pertvarkiai:

1. i - osios ir j -osios eilučiu̧ keitimas vietomis: ( \begin{matrix}& ⋯ \\ & (i) \\ ↓ & ⋯ & ↑ \\ & (j) \\ & ⋯ \end{matrix} ) .

2. i -osios eilutės daugyba iš nenulinio skaičiaus: ( \begin{matrix}⋯ \\ (i) · α \\ ⋯ \end{matrix} ) .

3. j -osios eilutės, padaugintos iš skaičiaus, pridėjimas prie i -osios eilutės:

( \begin{matrix}⋯ \\ (i) + (j) · α \\ ⋯ \\ (j) \\ ⋯ \end{matrix} ) .

Teiginys. Elementarūs tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos matricu̧ A ir B pertvarkiai nekeičia sistemos spendiniu̧ aibės.

I̧rodymas.1. 1-asis veiksmas yra ekvivalentumo veiksmas:

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ a_{i1}α_{1} + a_{i2}α_{2} + ⋯ + a_{in}α_{n} = b_{i} \\ ⋯ \\ a_{j1}α_{1} + a_{j2}α_{2} + ⋯ + a_{jn}α_{n} = b_{j} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} ⇔

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ a_{j1}α_{1} + a_{j2}α_{2} + ⋯ + a_{jn}α_{n} = b_{j} \\ ⋯ \\ a_{i1}α_{1} + a_{i2}α_{2} + ⋯ + a_{in}α_{n} = b_{i} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} .

2. 2-asis veiksmas yra ekvivalentumo veiksmas:

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ a_{i1}α_{1} + a_{i2}α_{2} + ⋯ + a_{in}α_{n} = b_{i} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} ⇔

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ α · a_{i1}α_{1} + α · a_{i2}α_{2} + ⋯ + α · a_{in}α_{n} = α · b_{i} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} .

3. 3-asis veiksmas yra ekvivalentumo veiksmas:

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ a_{i1}α_{1} + a_{i2}α_{2} + ⋯ + a_{in}α_{n} = b_{i} \\ ⋯ \\ a_{j1}α_{1} + a_{j2}α_{2} + ⋯ + a_{jn}α_{n} = b_{j} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} ⇔

\{ \begin{matrix}a_{11}α_{1} + a_{12}α_{2} + ⋯ + a_{1n}α_{n} = b_{1} \\ ⋯ \\ (a_{i1} + a_{j1}) α_{1} + (a_{i2} + a_{j2}) α_{2} + ⋯ + (a_{in} + a_{jn}) α_{n} = (b_{i} + b_{j}) \\ ⋯ \\ a_{j1}α_{1} + a_{j2}α_{2} + ⋯ + a_{jn}α_{n} = b_{j} \\ ⋯ \\ a_{m1}α_{1} + a_{m2}α_{2} + ⋯ + a_{mn}α_{n} = b_{m} \end{matrix} .

I̧rodyta.

Apibrėžimas. Matrica̧

j_{1} ⋯ j_{2} ⋯ j_{r}

( \begin{matrix}0 & ⋯ & 1 \\ 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & & & ∗ \\ ⋯ & & ⋯ & & ⋯ \\ 0 & ⋯ & & & & 0 & 1 \\ 0 & ⋯ & & & & & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋯ & & ⋯ & & & ⋯ \\ 0 & ⋯ & & & & & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) ,

čia

1) 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ... < j_{r} ≤ n;
2) a_{1j_{1}} = a_{2j_{2}} = ⋯ = a_{rj_{r}} = 1;
3) a_{is_{i}} = 0, jei s_{i} < j_{i} , 1 ≤ i ≤ r;
4) a_{ti} = 0, jei t > r, 1 ≤ i ≤ n,

vadinama laiptuota matrica.

Pavyzdys. Matricos ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ir ( \begin{matrix}0 & 1 & 3 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) yra laiptuo-

tos matricos, bet matrica ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) nėra laiptuota matrica.

Nesunku matyti, kad jeigu matrica A yra laiptuota matrica, tai ir matricos ( O | A ) ir ( \begin{matrix}1 & | & ∗ \\ O & | & − \\ O & | & A \end{matrix} ) yra laiptuotos matricos.

Teorema (Gauss) . Kiekviena̧ matrica̧ A elementariaisiais veiksmais galima suvesti prie laiptuotos matricos, kuria̧ vadiname laiptuotu matricos A pavidalu.

I̧rodymas. Indukcija pagal matricos A stulpeliu̧ skaičiu̧ n.

1. Indukcijos bazė: n = 1. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ ⋯ \\ a_{m1} \end{matrix} ) . Galimi du atvejai.

(a) a_{11} = a_{21} = ⋯ = a_{m1} = 0 ⇒ matrica A− laiptuota matrica.

(b) Egzistuoja toks i, 1 ≤ i ≤ m, kad a_{i1} ≠ 0. Tada atlikime šiuos elementarius pertvarkius su matricos A eilutėmis: 1) sukeismime pirma̧ja̧ ir i− a̧ja̧ eilutes vietomis; 2) pirma̧ja̧ eilutȩ daljame iš a_{i1}, 3) pirma̧ja̧ eilutȩ padauginta̧ iš −a_{j1} pridedame prie j− osoios eilutės, 2 ≤ j ≤ m ir j ≠ i; ir pirma̧ja̧ eilutȩ padauginta̧

iš −a_{11} pridedame prie i− osios eilutės. Gausime laiptuota̧ matrica̧ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ ⋯ \\ 0 \end{matrix} ) .

2. Indukcijos prielaida: matrica̧, turinčia̧ mažiau nei n stulpeliu̧ galima suvesti prie laiptuoto pavidalo.

3. Indukcijos teiginys. Tegu matricoje A yra n stulpeliu̧. Galimi du atvejai:

A. Matricos pirmasis stulpelis yra nulinis: A = ( \begin{matrix}0 & | \\ ⋯ & | & B \\ 0 & | \end{matrix} ) . Tada ma-

tricoje B yra n − 1 stulpelis ir pagal indukcijos prielaida̧ matrica̧ B elementariais pertvarkiais galima suvesti prie laiptuoto pavidalo B′. Tada ir matrica̧ A tais pačiais elementariais pertvarkiais galima suvesti prie laiptuotos matricos

A′ = ( \begin{matrix}0 & | \\ ⋯ & | & B′ \\ 0 & | \end{matrix} ) .

B. Matricos A pirmasis stulpelis nėra nulinis. Neapribojant bendrojo atvejo, tegu a_{11} ≠ 0 ( jei a_{11} = 0, bet a_{i1} ≠ 0 , tai sukeiskime pirma̧ja̧ ir i− a̧ja̧ eilutes vietomis). Tada atlikime šiuos elementarius pertvarkius su matricos A eilutėmis:

1) pirma̧ja̧ eilutȩ daljame iš a_{11}, 3) pirma̧ja̧ eilutȩ padauginta̧ iš −a_{j1} pridedame

prie j− osoios eilutės, 2 ≤ j ≤ m . Gausime matrica̧: ( \begin{matrix}1 & | & ∗ \\ O & | & − \\ O & | & B \end{matrix} ) . Matricoje

B yra n − 1 stulpelis, todėl pagal indukcijos prielaida̧ matrica̧ B elementariais pertvarkiais galima suvesti prie laiptuoto pavidalo B′. Tada ir matrica̧ A tais pačiais elementariais pertvarkiais galima suvesti prie laiptuotos matricos A′ =

( \begin{matrix}1 & | & ∗ \\ O & | & − \\ O & | & B′ \end{matrix} ) .

I̧rodyta.

Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos (1) sprendimas Gauss’o metodu.

Paskutiniosios teoremos dėka mes tiesiniu̧ lygčiu̧ sistemos (1) išplėsta̧ja̧ matrica̧ suvedame prie laiptuoto pavidalo:

j_{1} ⋯ j_{2} ⋯ j_{r}  n

( \begin{matrix}0 & ⋯ & 1 & & & & & & & & | & c_{1} \\ 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & & & ∗ & & & | & c_{2} \\ ⋯ & & ⋯ & & ⋯ & & & & & & | \\ 0 & ⋯ & & & & 0 & 1 & & & & | & c_{r} \\ 0 & ⋯ & & & & & 0 & ⋯ & 0 & 0 & | & c_{r+1} \\ ⋯ & & ⋯ & & & ⋯ & & & & & | \\ 0 & ⋯ & & & & & 0 & ⋯ & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix} ) .

Šia̧ matrica̧ atitinkanti tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema yra

\{ \begin{matrix}x_{1j_{1}}+ & & & ⋯ & a_{1n}x_{n} & = & c_{1} \\ & x_{2j_{2}}+ & & ⋯ & a_{2n}x_{n} & = & c_{2} \\ & & & ⋯ \\ & & x_{rj_{r}}+ & ⋯ & a_{rn}x_{n} & = & c_{r} \\ & & & & 0 & = & c_{r+1} \end{matrix} .

Nagrinėdami šia̧ sistema̧, išskirsime kelis atvejus:

1. c_{r+1} ≠ 0. Sistema nesuderinta.

2. c_{r+1} = 0 ir r = n. Tada sistema turi viena̧ sprendini̧: x_{n} = c_{n}, x_{n−1} = c_{n−1} − a_{n−1,n}c_{n}, ..., x_{1} = c_{1} − a_{1n}c_{n} − · · · .

3. c_{r+1} = 0 ir r < n. Tada sistema turi be galo daug sprendiniu̧: visus laiptuose esančius kintamuosius x_{1j_{1}}, ..., x_{rj_{r}} galima išreikšti nesančiais laiptuose kintamaisiais: x_{rj_{r}} = c_{r} − a_{rj_{r}+1}x_{r+1} − ⋯ − a_{rn}x_{n}, ... .

Apibrėžimas. Matricos A laiptuotame pavidale laiptu̧ skaičiu̧ vadiname matricos A rangu: rankA = r.

Vėliau matysime, kad matricos rango apibrėžimas yra korektiškas, t.y. matricos A laiptuotame pavidale laiptu̧ skaičius yra apibrėžiamas pačia matrica A ir nepriklauso nuo elementariu̧ matricos A pertvarkiu̧.

Teorema (Kronecker-Capelli). Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema (1) yra suderinta tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas lygus išplėstosios matricos rangui: rankA =rankB.

I̧rodymas remiasi tik apibrėžimais ir paliekamas skaitytojui.

Pastabos. 1. Jei tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema (1) yra suderinta ir sistemos matricos rangas yra lygus sistemoje esančiu̧ kintamu̧ju̧ skaičiui: rankA = n, tai sistema turi vienintėli̧ sprendini̧.

2. Jei tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema (1) yra suderinta ir sistemos matricos rangas yra mažesnis negu sistemoje esančiu̧ kintamu̧ju̧ skaičius: rankA < n, tai sistema turi be galo daug sprendiniu̧.

Apibrėžimas. Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema (1) vadinama homogenine tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema, jei b_{1} = b_{2} = ⋯ = b_{m} = 0.

Pastabos. 1. Homogeninė tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema visda suderinta.

2. Homogeninė tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema turi be galo daug sprendiniu̧ tada ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra mažesnis negu sistemoje esančiu̧ kintamu̧ju̧ skaičius: rankA < n.

Apibrėžimas. Kvadratinė matrica A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋯ & ... & ⋯ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ), kurios rankA =

n, vadinama neišsigimusia.

Teiginys. Kvadratinė matrica A yra neišsigimusi tada ir tik tada, kai det A ≠ 0.

I̧rodymas. Tegu matricos A laiptuotas pavidalas B yra gaunamas šiu̧ elementariu̧ju̧ pertvarkiu̧: 1) pertvarkiu̧, keičiančiu̧ eilutes vietomis:P_{1}, ..., P_{u}; 2) pertvarkiu̧, dauginačiu̧ kuria̧ nors matricos eilutȩ iš α_{i} ≠ 0 : P_{α_{1}}, ..., P_{α_{v}}; 3) pertvarkiu̧, pridedančiu̧ prie vienos eilutės kita̧, padauginta̧ iš nenulinio skaičiaus: Q_{1}, ..., Q_{t}. Tada turime:

det B = (−1)^{u} α_{1} · · · · · α_{v} det A.

Tada teigini̧ i̧rodo šiu̧ implikaciju̧ seka:

A− neišsigimusi⇔ rankA = n ⇔rankB = n ⇔ det B ≠ 0 ⇔ det A ≠ 0.

I̧rodyta.

Teiginys. Tiesiniu̧ lygčiu̧ sistema, kurios matrica A yra kvadratinė, turi vienintėli̧ sprendini̧ tada ir tik tada det A ≠ 0.

I̧rodymas iš paskutinio teiginio.

.

.