Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas.Rimantas Grigutis

5 paskaita. Keitiniai.

Tegu V = {v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}} - baigtinė, visiškai sutvarkyta aibė: v_{1} < v_{2} < ... < v_{n} ir π - šios aibės kėlinys (w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}) . Tuo pačiu žymeniu π žymėsime ir funkcija̧, kuria̧ vadinsime keitiniu

π : V → V, π (v_{1}) = w_{1}, π (v_{2}) = w_{2}, ..., π (v_{n}) = w_{n}. Žinome, kad keitiniai yra abipus vienareikšmės funkcijos ir ju̧ yra n! .

Pateiksime keitiniu̧ reiškimo būdus.

1. Keitinio, kaip funkcijos apibrėžtos baigtinėje aibėje, reiškimas lentele:

( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & ... & v_{n} \\ w_{1} & w_{2} & ... & w_{n} \end{matrix} ) .

2. Reiškimas grafu. Grafas sudarytas iš viršūniu̧ v_{i} ir orientuotu̧ briaunu̧ ⟨v_{i}, π (v_{i})⟩ , 1 ≤ i ≤ n .

Pavyzdys. V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

π = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 & 7 \end{matrix} )

\begin{aligned}& & 1 \\ & ↗ & & ↘ \\ 5 & & ⟵ & & 3 \end{aligned} 2 ⟷ 4 6 7

3. Reiškimas nepriklausomais ciklais. Tegu v_{i} ∈ V . Tada turime aibės V elementu̧ seka̧ v_{i}, π (v_{i}) , π^{2} (v_{i}) = π (π (v_{i})) , ..., π^{k−1} (v_{i}) , π^{k} (v_{i}) = v_{i.}. Gauname k ilgio cikla̧ (v_{i}, π (v_{i}) , π^{2} (v_{i}) = π (π (v_{i})) , ..., π^{k−1} (v_{i})) . Jeigu k = n , tai visi aibės V elementai yra šiame cikle. Kitu atveju, egzis-

tuoja v_{j} ∉ (v_{i}, π (v_{i}) , π^{2} (v_{i}) = π (π (v_{i})) , ..., π^{k−1} (v_{i})) , kuriam konstruojame savo cikla̧:

(v_{j}, π (v_{j}) , π^{2} (v_{j}) = π (π (v_{j})) , ..., π^{l−1} (v_{j})) . Cikluose yra skirtingi elementai. Jeigu π^{r} (v_{j}) = π^{s} (v_{i}) , tai π^{r+1} (v_{j}) = π^{s+1} (v_{i}) , …, v_{j} = π^{l} (v_{j}) = π^{s+(l−r)} (v_{i}),

tai elementas v_{j} priklausytu̧ pirma̧jam ciklui, o tai prieštarautu̧ sa̧lygai. Taigi, visi aibės V elementai suskyla i̧ nepriklausomus ciklus keitinio π atžvilgiu.

Parodėme, kad bet kuri̧ keitini̧ galima užrašyti kaip poromis nepriklausomu̧ ciklu̧ ”sandauga”. Šis skaidinys yra vienintėlis ciklu̧ išsidėstymo tikslumu.

Paaiškinsime ”sandaugos” sa̧voka̧.

Apibrėžimas.Tegu π , ρ - keitiniai aibėje V. Keitiniu̧ sandauga σ = π ∘ ρ vadinsime keitini̧, apibrėžta̧ lygybe

σ (v_{i}) = ρ (π (v_{i})) , ∀v_{i} ∈ V.

Pastebėsime, kad taip apibrėžta sandauga yra funkciju̧ kompozicija. Ji nėra komutatyvi, t.y. ne visada π ∘ ρ = ρ ∘ π.

Pavyzdys. Kai π = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{3} & v_{2} & v_{1} \end{matrix} ), o ρ = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{3} & v_{1} & v_{2} \end{matrix} ), tai

π ∘ ρ = ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{2} & v_{1} & v_{3} \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ v_{1} & v_{3} & v_{2} \end{matrix} ) = ρ ∘ π .

Tačiau, keitinio π kanoniniame skaidinyje esantys nepriklausomi ciklai komutuoja poromis.

Teiginys.Tegu S(V) - visu̧ keitiniu̧ aibė aibėje V. Tada (S (V) , ∘) - grupė.

I̧rodymas. 1) Operacijos korektiškumas: jei π, ρ ∈ S(V) , tai π ∘ ρ ∈ S(V) .

2) Asosiatyvumas: (π ∘ ρ) ∘ τ = π ∘ (ρ ∘ τ) . ((π ∘ ρ) ∘ τ) (v_{i}) = τ ((π ∘ ρ) (v_{i})) = τ (ρ (π (v_{i}))) = (ρ ∘ τ) (π (v_{i})) = (π ∘ (ρ ∘ τ)) (v_{i}) .

3) Neutralaus elemento egzistavimas : id (v_{i}) = v_{i} , ∀v_{i} ∈ V , todėl id ∘ π = π ∘ id = π , π ∈ S(V).

4) Atvirkštinio elemento egzistavimas: jei π (v_{i}) = w_{i} , tai π^{−1} (w_{i}) = v_{i} . I̧rodyta.

Apibrėžimas. Ciklas (v_{i}, v_{j}) vadinamas transpozicija.

Teiginys. Kai |V | ≥ 2 ,tai bet kuri̧ keitini̧ galima užrašyti transpoziciju̧ sandauga.

I̧rodymas. Ši̧ teigini̧ pakanka i̧rodyti k ilgio ciklui. Kai k = 1, (v) = (u, v) ∘ (u, v) .

Kai k = 2, (u, v) = (u, v) , o k ≥ 3, (v_{1}, v_{2}, ..., v_{k}) = (v_{1}, v_{2}) ∘ (v_{1}, v_{3}) ∘ ⋯ ∘ (v_{1}, v_{k}). Sandaugoje yra k − 1

transpozicija.

I̧rodyta.

Pastebėsime, kad keitinio reiškimas transpoziciju̧ sandauga yra nevienareikšmiškas.

Pavyzdžiui,

(v, u) = (v, u) ∘ (v, u) ∘ (v, u) .

Pastovus dydis šiame reiškime visdėlto yra: tai transpoziciju̧ skaičiaus liekana dalijant ji̧ iš 2.

Apibrėžimas. Tegu π ∈ S(V). Pora (v_{i}, v_{j}), kai v_{i} < v_{j}, bet π (v_{i}) > π (v_{j}) vadinama keitinio π inversija.

π vadinamas lyginiu keitiniu, jeigu π inversiju̧ skaičius yra lyginis. π vadinamas nelyginiu keitiniu, jeigu π inversiju̧ skaičius yra nelyginis.

Keitinio π inversiju̧ skaičiu̧ žymėsime |π|, o ženkla̧ signπ = (−1)^{|π|} . Pastebėsime, kad id yra lyginis keitinys. Jei π− lyginis, tai signπ = 1, jei π−

nelyginis, tai signπ = −1.

Teiginys. |π ∘ (a, b)| ≡ |π| + 1 (mod 2).

I̧rodymas.

π = ( \begin{matrix}v_{1} & ... & v_{k} & v_{k+1} & v_{k+2} & ... & v_{k+l+1} & v_{k+l+2} & v_{k+l+3} & ... & v_{n} \\ a_{1} & ... & a_{k} & a & b_{1} & ... & b_{l} & b & c_{1} & ... & c_{m} \end{matrix} ) ,

π ∘ (a, b) = ( \begin{matrix}v_{1} & ... & v_{k} & v_{k+1} & v_{k+2} & ... & v_{k+l+1} & v_{k+l+2} & v_{k+l+3} & ... & v_{n} \\ a_{1} & ... & a_{k} & b & b_{1} & ... & b_{l} & a & c_{1} & ... & c_{m} \end{matrix} ) .

Pažymėkime. p_{a} = |{a_{1}, ..., a_{k}|a_{i} > a}| , q_{a} = |{a_{1}, ..., a_{k}|a_{i} > b}| p_{b} = |{b_{1}, ..., b_{l}|b_{i} > a}| , q_{b} = |{b_{1}, ..., b_{l}|b_{i} > b}| p_{c} = |{c_{1}, ..., c_{m}|c_{i} > a}| , q_{c} = |{c_{1}, ..., c_{m}|c_{i} > b}| . Tegu r - keitinio

( \begin{matrix}v_{1} & ... & v_{k} & v_{k+2} & ... & v_{k+l+1} & v_{k+l+3} & ... & v_{n} \\ a_{1} & ... & a_{k} & b_{1} & ... & b_{l} & c_{1} & ... & c_{m} \end{matrix} )

inversiju̧ skaičius. Tada , kai a < b turime |π| = p_{a} + (l − p_{b}) + (m − p_{c}) + q_{a} + q_{b} + (m − q_{c}) + r, |π ∘ (a, b)| = p_{a} + p_{b} + (m − p_{c}) + q_{a} + (l − q_{b}) + (m − q_{c}) + 1 + r. Todėl |π| − |π ∘ (a, b)| = 2 (q_{b} − p_{b}) + 1 ≡ 1 (mod 2) . Atvejis a > b nagrinėjamas analogiškai. I̧rodyta.

Turime, kad sign(id) = 1 ir sign((a, b)) = −1 .

Transpoziciju̧ skaičius keitinyje π yra pastovus dydis mod 2 .

Jeigu turime du keitinio π reiškimus transpoziciju̧ sandauga ;

π = σ_{1} ⋯ σ_{k} = τ_{1} ⋯ τ_{l} ,

tai

signπ =sign(σ_{1} ⋯ σ_{k}) =sign(τ_{1} ⋯ τ_{l})

ir

signπ = (−1)^{k} = (−1)^{l} ⟹ (−1)^{k−l} = 1 ⟹ k − l ≡ 0 (mod 2) ⟹ k ≡ l (mod 2.)

Išvados.

1. Keitinys yra lyginis tada ir tik tada, kai jis yra lyginio skaičiaus transpozicijiu̧ sandauga.

2. Keitinys yra nelyginis tada ir tik tada, kai jis yra nelyginio skaičiaus transpozicijiu̧ sandauga.

3. k-ciklas yra lyginis tada ir tik tada, kai k yra nelyginis ir atvirkščiai.

4. (lyginis) ∘ (lyginis) = (lyginis) . (nelyginis) ∘ (nelyginis) = (lyginis) . (nelyginis) ∘ (lyginis) = (nelyginis) .

5. sign(π ∘ ρ) =sign(π) ·sign(ρ) .

Lyginiu̧ keitinu̧ aibȩ žymėsime A_{n} ir vadina alternuojančia grupe.

Teiginys. Lyginiu̧ ir nelyginiu̧ keitiniu̧ yra po lygiai \frac{n!}{2} .

I̧rodymas. Nagrinėjama alternuojanti grupė A_{n}. Apibrėžiama aibė

U_{(a,b)} = {π ∈ S_{n}|π = σ ∘ (a, b) , σ ∈ A_{n}} ⊆ S_{n} − A_{n}.

Tegu |A_{n}| = m_{1} , |S_{n} − A_{n}| = m_{2}. Tada aibės U_{(a,b)} visi elementai skirtingi: σ_{1} ∘ (a, b) = σ_{2} ∘ (a, b) ⟺ σ_{1} ∘ (a, b) ∘ (a, b) = σ_{2} ∘ (a, b) ∘ (a, b) ⟺ σ_{1} = σ_{2}. Taigi, |U_{(a,b)}| = |A_{n}| = m_{1} ≤ m_{2}. Analogiškai, tegu turime aibȩ

W_{(a,b)} = {π ∈ S_{n}|π = ρ ∘ (a, b) , ρ ∈ S_{n} − A_{n}} ⊆ A_{n}.

Kaip ir aibės U_{(a,b)} taip ir aibės W_{(a,b)} visi elementai skirtingi. Tada |W_{(a,b)}| = |S_{n} − A_{n}| = m_{2} ≤ m_{1}.

Taigi, m_{1} = m_{2} = \frac{n!}{2} .

I̧rodyta.