Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas.Rimantas Grigutis

4 paskaita. Determinantai.

2-oje paskaitoje matėme, kad sprendžiant dvieju̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ su dviem nežinomaisiais sistemas sprendinius patogu reikšti matricu̧ determinantais. Apibendrinsime determinanto savoka̧ didesnio matavimo matricoms, iš pradžiu̧ apsistodami ties triju̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ su trimis nežinomaisiais sistemomis.

Tegu, turime triju̧ tiesiniu̧ lygčiu̧ su trimis nežinomaisiais sistema̧ ir atlikime su ja nurodytus veiksmus:

\{ \begin{matrix}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} & |· & b_{2}c_{3} − b_{3}c_{2} & |· & c_{2}a_{3} − c_{3}a_{2} & |· & a_{2}b_{3} − a_{3}b_{2} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} & |· & b_{3}c_{1} − b_{1}c_{3} & |· & c_{3}a_{1} − c_{1}a_{3} & |· & a_{3}b_{1} − a_{1}b_{3} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} & |· & b_{1}c_{2} − b_{2}c_{1} & |· & c_{1}a_{2} − c_{2}a_{1} & |· & a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1} \end{matrix}  (1)

Kas kart sudėjȩ turėsime:

x = \frac{d_{1}b_{2}c_{3} + d_{2}b_{3}c_{1} + d_{3}b_{1}c_{2} − d_{1}b_{3}c_{2} − d_{2}b_{1}c_{3} − d_{3}b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{3}b_{2}c_{1}}

y = \frac{a_{1}d_{2}c_{3} + a_{2}d_{3}c_{1} + a_{3}d_{1}c_{2} − a_{1}d_{3}c_{2} − a_{2}d_{1}c_{3} − a_{3}d_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{3}b_{2}c_{1}}

z = \frac{a_{1}b_{2}d_{3} + a_{2}b_{3}d_{1} + a_{3}b_{1}d_{2} − a_{1}b_{3}d_{2} − a_{2}b_{1}d_{3} − a_{3}b_{2}d_{1}}{a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{3}b_{2}c_{1}}

Nagrinėjamos tiesinės sistemos matrica vadinsime lentelȩ

A = ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) .

Sistemos sprendinio vardikli̧ sudaro 6 dėmenys: trys teigiami ir trys neigiami. Juos galima pavaizduoti ir taip:

teigiami ( \begin{matrix}a_{1} & & b_{1} & & c_{1} \\ & ↘ \\ a_{2} & & b_{2} & & c_{2} \\ & ↘ & & ↘ \\ a_{3} & & b_{3} & & c_{3} \\ & ↘ & & ↘ \\ a_{1} & & b_{1} & & c_{1} \\ & & & ↘ \\ a_{2} & & b_{2} & & c_{2} \end{matrix} ) , neigiami: ( \begin{matrix}a_{1} & & b_{1} & & c_{1} \\ & & & ↗ \\ a_{2} & & b_{2} & & c_{2} \\ & ↗ & & ↗ \\ a_{3} & & b_{3} & & c_{3} \\ & ↗ & & ↗ \\ a_{1} & & b_{1} & & c_{1} \\ & ↗ \\ a_{2} & & b_{2} & & c_{2} \end{matrix} )

Apibrėžimas. Matricos ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) determinantu vadiname išraiška̧:

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) = | \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | =

a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{3}b_{2}c_{1}.

Tada (1) sistemos sprendinius galima užrašyti:

x = \begin{matrix}| & \begin{matrix}d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} & | \end{matrix}, y = \begin{matrix}| & \begin{matrix}a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} & | \end{matrix}, z = \begin{matrix}| & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} & | \end{matrix}

Šias formules vadiname Cramer’io formulėmis. Suprantama, sistema (1) turi sprendini̧, kai det A ≠ 0.

Taigi:

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) = a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}.

det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}−a_{13}a_{22}a_{31}−a_{12}a_{21}a_{33}−

a_{11}a_{23}a_{32}.

Apibendrinkime tai n-osios eilės kvadratinėms matricoms: ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) :

det ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) = ∑_{(i_{1},...,i_{n})} ±a_{1i_{1}}a_{2i_{2}} ⋯ a_{ni_{n}}, (2)

čia sumuojama pagal visus aibės {1, 2, ..., n} kėlinius (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) . Prisiminkime, kad tokiu̧ kėliniu̧ yra n!.

Parašykime 2-osios ir 3-iosios eilės determinantu̧ išraiškose esančiu̧ dėmenu̧ antru̧ju̧ indeksu̧ lenteles:

matricai ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) :

su ženklu + su ženklu -
(1, 2)  (2, 1)

matricai ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) :

su ženklu + su ženklu -
(1, 2, 3)  (3, 2, 1)
(2, 3, 1)  (2, 1, 3)
(3, 1, 2)  (1, 3, 2)

Matome, kad pusė dėmenu̧ yra teigiamu̧, o pusė - neigiamu̧.

Patikslinsime determinanto išraiškoje (2) esančiu̧ dėmenu̧ ženklus.

Apibrėžimas. Kėlinio (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) inversija vadinsime tokia̧ skaičiu̧ pora̧ {i_{s}, i_{r}} , 1 ≤ i_{s} ≠ i_{r} ≤ n, kad i_{s} > i_{r}, bet s < r, t.y. dešinėje kėlinyje esantis skaičius i_{s} yra mažesnis už kairėje esani̧ i_{r}.

Matricos determinanto išraiškoje (2) dėmuo a_{1i_{1}}a_{2i_{2}} ⋯ a_{ni_{n}} bus su ženklu ”+”, jei kėlinyje (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) yra lyginis inversiju̧ skaičius ir su ženklu ”-”, jei - nelyginis. Jeigu kėlinyje (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) esančiu̧ inversiju̧ skaičiu̧ pažymėsime inv(i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) , tai gausime patikslinta̧ (2) formulȩ:

det ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) = ∑_{(i_{1},...,i_{n})} (−1)^{inv(i_{1},i_{2},...,i_{n})} a_{1i_{1}}a_{2i_{2}} ⋯ a_{ni_{n}}, (2′)

čia sumuojama pagal visus aibės {1, 2, ..., n} kėlinius (i_{1}, i_{2}, ..., i_{n}) .

Apibrėžimas. Kvadratinės matricos A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) (i, j) − minoru

vadinsime matricos, gautos išbraukus matricoje A i− a̧ja̧ eilutȩ ir j− a̧ji̧ stulpeli̧, determinanta̧: žymėsime M_{i,j} (A) , arba tiesiog M_{i,j}.

Teiginys. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) . Tada teisinga:

det A = a_{11}M_{11} − a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}.

I̧rodymas. a_{11}M_{11} − a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} = a_{11} | \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | − a_{12} | \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | +

a_{13} | \begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} | = a_{11} (a_{22}a_{33} − a_{23}a_{32})−a_{12} (a_{21}a_{33} − a_{23}a_{31})+a_{13} (a_{21}a_{32} − a_{22}a_{31}) =

a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{13}a_{22}a_{31} − a_{12}a_{21}a_{33} − a_{11}a_{23}a_{32} = det A. I̧rodyta.

Ši̧ teigini̧ galima apibendrinti:

Teiginys-apibrėžimas. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) . Tada teisinga:

det A = a_{11}M_{11} − a_{12}M_{12} + ⋯ + (−1)^{1+n} a_{1n}M_{1n}.

Dažnai teiginyje esančia̧ lygybȩ ir vadina matricos A determinantu.

Galima apibendrinti teiginyje-apibrėžime esančia̧ formulȩ: Teorema. Su visais i = 1, 2, ..., n turime determinanto skleidimo i− a̧ja eilute formulȩ:

det A = ∑_{j=1}^{n} (−1)^{i+j} a_{i,j}M_{i,j}.

Su visais j = 1, 2, ..., n turime determinanto skleidimo j− uoju stulpeliu formulȩ:

det A = ∑_{i=1}^{n} (−1)^{i+j} a_{i,j}M_{i,j}

Iš teiginio-apibrėžimo tiesiogiai turime svarbias determinanto savybes:

D1. Jeigu matricos kuris nors stulpelis yra nulinis, tai tos matricos determinantas yra lygus 0.

D2. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) ir a_{i,j} = 0, kai i < j. Tada

det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

D3. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) ir a_{i,j} = 0, kai i > j. Tada

det A = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}.

D4. Tegu A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) . Matrica̧ A^{T} = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{n1} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1n} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) vadi-

name transponuota matrica. Tada

det A = det A^{T} .

D5. Jeigu matricos A du stulpeliai yra lygūs, tai det A = 0. D6. Jeigu matricos A dvi eilutės yra lygios, tai det A = 0. D7. Sukeitus du stulpelius arba dvi eilutes vietomis keičiasi determinanto

ženklas. D8. Determinantas yra tiesinė funkcija visu̧ eilučiu̧ ir stulpeliu̧ atžvilgiu:

| \begin{matrix}a_{11} + a′_{11} & ⋯ & a_{1n} + a′_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | + | \begin{matrix}a′_{11} & ⋯ & a′_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} |

| \begin{matrix}a_{11} + a′_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} + a′_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | = | \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | + | \begin{matrix}a′_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a′_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} |

| \begin{matrix}ta_{11} & ⋯ & ta_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | = t | \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} |

| \begin{matrix}ta_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ ta_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | = t | \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} | .

D9. Determinantas nesikeis, jei prie kurios nors eilutės( kurio nors stulpelio) pridėsime kita̧ eilutȩ ( kita̧ stulpeli̧) galbūt padauginta̧ iš skaičiaus.

Pavyzdys. Trikampio A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2}) C (x_{3}, y_{3}) plotas yra:

S_{△ABC} = ±\frac{1}{2} | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} | .

Ženklas parenkamas taip, S_{△ABC} > 0. Turime

\frac{1}{2} | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} | = \frac{1}{2} (x_{1} | \begin{matrix}y_{2} & 1 \\ y_{3} & 1 \end{matrix} | − y_{1} | \begin{matrix}x_{2} & 1 \\ x_{3} & 1 \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{matrix} |) =

\frac{1}{2} (| \begin{matrix}y_{2} & x_{1} \\ y_{3} & x_{1} \end{matrix} | − | \begin{matrix}x_{2} & y_{1} \\ x_{3} & y_{1} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} \\ x_{3} & y_{3} \end{matrix} |) =

\frac{1}{2} (− | \begin{matrix}x_{1} & y_{2} \\ x_{1} & y_{3} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} − y_{1} \\ x_{3} & y_{3} − y_{1} \end{matrix} |) =

\frac{1}{2} (− | \begin{matrix}x_{1} & y_{2} \\ x_{1} & y_{3} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} \\ x_{1} & y_{1} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} − y_{1} \\ x_{3} & y_{3} − y_{1} \end{matrix} |) =

\frac{1}{2} (− | \begin{matrix}x_{1} & y_{2} − y_{1} \\ x_{1} & y_{3} − y_{1} \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} − y_{1} \\ x_{3} & y_{3} − y_{1} \end{matrix} |) =

\frac{1}{2} | \begin{matrix}x_{2} − x_{1} & y_{2} − y_{1} \\ x_{3} − x_{1} & y_{3} − y_{1} \end{matrix} | .

Pavyzdys. Tiesės, einančios per taškus A (x_{1}, y_{1}) ir B (x_{2}, y_{2}) , lygtis yra:

| \begin{matrix}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix} | = 0. (3)

Iš tikro, turime

| \begin{matrix}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix} | = x | \begin{matrix}y_{1} & 1 \\ y_{2} & 1 \end{matrix} | − y | \begin{matrix}x_{1} & 1 \\ x_{2} & 1 \end{matrix} | + | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix} | =

x (y_{1} − y_{2}) − y (x_{1} − x_{2}) + (x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}) .

Matome, kad (3) yra tiesės lygtis

ax + by + c = 0,

čia a = | \begin{matrix}y_{1} & 1 \\ y_{2} & 1 \end{matrix} | , b = − | \begin{matrix}x_{1} & 1 \\ x_{2} & 1 \end{matrix} | , c = | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix} | .

Ši tiesė eina per taškus A ir B , nes

| \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{matrix} | = 0.

Paskutini̧ji̧ pavyzdi̧ galima apibendrinti trimačiai erdvei.

Pavyzdys. Tegu turime tris nekomplanarius erdvės taškus A (x_{1}, y_{1}, z_{1}) , B (x_{2}, y_{2}, z_{2}) , C (x_{3}, y_{3}, z_{3}) . Tada lygtis

| \begin{matrix}x & y & z & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = 0 (4)

yra plokštumos,einančios per taškus A, B, C, lygtis:

ax + by + cz + d = 0,

čia a = | \begin{matrix}y_{1} & z_{1} & 1 \\ y_{2} & z_{2} & 1 \\ y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | , b = − | \begin{matrix}x_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | , c = | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} | , d = | \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} | .

Vėliau matysime, kad ax+by +cz +d = 0 yra bendroji plokštumos lygtis,jeigu tik ne visi a, b, c yra lygūs 0. Pastebėsime, kad ±\frac{1}{2}a, ±\frac{1}{2}b, ±\frac{1}{2}c yra trikampio ABC projekciju̧ koordinatinėse plokštumose yz, xz, xy plotai. Tai galima i̧rodyti ir tiesiogiai.

Tai, kad plokštuma (4) eina per taškus A, B, C galima i̧sitikinti tiesiogiai:

| \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix}x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix}x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} & 1 \end{matrix} | = 0.

Pavyzdys( Vandermondo determinantas).

| \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{matrix} | = ∏_{1≤i<j≤3} (x_{j} − x_{i}) = (x_{2} − x_{1}) (x_{3} − x_{1}) (x_{3} − x_{2}) .

Atimkime iš 2-ojo ir 3-ojo stulpeliu̧ 1-a̧ji̧ ir poto išskleiskime determinanta̧ 1a̧ja̧ eilute:

| \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{matrix} | = | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ x_{1} & x_{2} − x_{1} & x_{3} − x_{1} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} − x_{1}^{2} & x_{3}^{2} − x_{1}^{2} \end{matrix} | =

| \begin{matrix}x_{2} − x_{1} & x_{3} − x_{1} \\ x_{2}^{2} − x_{1}^{2} & x_{3}^{2} − x_{1}^{2} \end{matrix} | = | \begin{matrix}x_{2} − x_{1} & x_{3} − x_{1} \\ (x_{2} − x_{1}) (x_{2} + x_{1}) & (x_{3} − x_{1}) (x_{3} + x_{1}) \end{matrix} | =

(x_{2} − x_{1}) (x_{3} − x_{1}) | \begin{matrix}1 & 1 \\ x_{2} + x_{1} & x_{3} + x_{1} \end{matrix} | = (x_{2} − x_{1}) (x_{3} − x_{1}) (x_{3} − x_{2}) .