Algebra ir geometrija informatikams. Paskaitu̧ konspektas.Rimantas Grigutis

3 paskaita: Tiesės padėtis koordintiniu̧ ašiu̧ atžvilgiu. Kampas tarp tiesiu̧. Tiesiu̧ lygiagretumo ir statmenumo sa̧lygos.Taško atstumas iki tiesės.

Sakykime ax + by + c = 0 yra tiesės t lygtis. Išnagrinėsime atskirus tiesės t padėties ašiu̧ x ir y atžvilgiu.

1) a = 0, b ≠ 0. Tada tiesės t lygtis yra y = −\frac{c}{b}. Šiuo atveju tiesė t lygiagreti x ašiai.

2) a ≠ 0, b = 0. Tada tiesės t lygtis yra x = −\frac{c}{a}. Šiuo atveju tiesė t lygiagreti y ašiai.

3) c = 0. Tada tiesės t lygtis yra ax + by = 0. Šiuo atveju tiesė t eina per koordinačiu̧ pradžia̧.

4) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Tada tiesės t lygtis ekvivalenti lygčiai \frac{a}{c}x + \frac{b}{c}y = 1 ir jeigu α = \frac{−c}{a}, β = \frac{−c}{b}, lygčiai \frac{x}{α} + \frac{y}{β} = 1.

Tai ašinė tiesės lygtis. Matome, kad taškai (α, 0) ir (0, β) yra koordintiniu̧ ašiu̧ taškai, per kuriuos

eina tiesė t.

Apibrėžimas.Tiesės teigiama kryptimi vadiname tokia krypti̧, kuria judėdant didėja taško ordinatė.

Apibrėžimas. Kampu φ tarp tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} vadinsime toki̧ mažiausia̧ neneigiama̧ kampa̧, kurio absoliuti reikšmė < π ir kuriuo pasukus tiesȩ t_{1} tiesės t_{2} link, sutaps tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} teigiamos kryptys.

Rasime kampa̧ tarp dvieju̧ tiesiu̧ t_{1} ir t_{2}, nelygiagrečiu̧ y ašiai. Tokiu̧ tiesiu̧ lygtis galima išreikšti y atžvilgiu:

y = k_{1}x + l_{1}
y = k_{2}x + l_{2},

čia k_{i}− tiesės t_{i} krypties koeficientas ( k_{i} =tgα_{i}, α_{i}− kampas tarp x ašies ir tiesės t_{i}), i = 1, 2;

l_{i} - atstumas nuo koordinačiu̧ pradžios iki tiesės t_{i} susikirtimo su y ašimi taško. i = 1, 2.

Tegu α_{1} ≥ α_{2}. Tada ieškomasis kampas yra lygus φ = α_{1} − α_{2}. Tada

tgφ =tg(α_{1} − α_{2}) = \frac{tgα_{1} − tgα_{2}}{1 + tgα_{1} · tgα_{2}} = \frac{k_{1} − k_{2}}{1 + k_{1} · k_{2}} .

Kampas φ parenkamas taip, kad galiotu̧ 0 ≤ φ < π.

Tegu dvieju̧ tiesiu̧ t_{1} ir t_{2} lygtys yra

a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0
a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0,

arba ( jeigu jos nelygiagrečios y ašiai)

y = k_{1}x + l_{1}
y = k_{2}x + l_{2},

čia k_{i} = −\frac{a_{i}}{b_{i}} , l_{i} = −\frac{c_{i}}{b_{i}} , i = 1, 2.

Teorema 1. Tiesės t_{1} ir t_{2} yra lygiagrečios arba sutampa tada ir tik tada, kada

a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2} = 0.

Teorema 2. Tiesės t_{1} ir t_{2} yra statmenos tada ir tik tada, kada

a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0.

Teoremos 1 i̧rodymas. I̧rodysime teigini̧ iš kairės i̧ dešinȩ. Tegu tiesės t_{1} ir t_{2} lygiagrečios.Tada

0 =tgφ = \frac{k_{1} − k_{2}}{1 + k_{1} · k_{2}} , čia φ(= 0)− kampas tarp t_{1} ir t_{2}.

ir todėl k_{1} − k_{2} = 0, arba a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2} = 0. I̧rodysime teigini̧ iš dešinės i̧ kairȩ. Nagrinėkime du atvejus.

1) b_{1} ≠ 0. Tada ir b_{2} ≠ 0, nes priešingu atveju ir a_{2} = b_{2} = 0, o tai negalima. Tada turime

−\frac{a_{1}}{b_{1}} = −\frac{a_{2}}{b_{2}} , arba k_{1} = k_{2},

t.y. tiesės su x ašimi sudaro ta̧ pati̧ kampa̧. O tai i̧manoma tik tuo atveju jeigu tiesės t_{1} ir t_{2} yra lygiagrečios arba sutampa.

2) b_{1} = 0. Tada ir b_{2} = 0, nes a_{1} ≠ 0. Taigi abi tiesės t_{1} ir t_{2} yra lygiagrečios y ašiai, todėl ir t_{1}∥t_{2}.

I̧rodyta.

Teoremos 2 i̧rodymas. I̧rodysime teigini̧ iš kairės i̧ dešinȩ. Tegu tiesės t_{1} ir t_{2} statmenos.Tada

∞ =tgφ = \frac{k_{1} − k_{2}}{1 + k_{1} · k_{2}} , čia φ(= \frac{π}{2})− kampas tarp t_{1} ir t_{2}.

ir todėl 1 + k_{1} · k_{2} = 0, arba a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0. I̧rodysime teigini̧ iš dešinės i̧ kairȩ. Nagrinėkime tris atvejus.

1) b_{1} ≠ 0. Jei b_{2} ≠ 0, tai

1 + (−\frac{a_{1}}{b_{1}} ) · (−\frac{a_{2}}{b_{2}} ) = 0

arba 1 + k_{1} · k_{2} = 0 ir tgφ = \frac{k_{1} − k_{2}}{1 + k_{1} · k_{2}} = \frac{k_{1} − k_{2}}{0} = ∞.

t.y. tiesės statmenos.

2) b_{1} ≠ 0. Jei b_{2} = 0, tai a_{2} ≠ 0 ir tada būtinai a_{1} = 0. Tada tiesė t_{1} yra lygiagreti x ašiai, o tiesė t_{2} yra lygiagreti y ašiai. Taigi t_{1} ⊥ t_{2}.

3) b_{1} = 0. Tada a_{1} ≠ 0 ir tada būtinai a_{2} = 0. Tada tiesė t_{1} yra lygiagreti y ašiai, o tiesė t_{2} yra lygiagreti x ašiai. Tπaigi t_{1} ⊥ t_{2}.

I̧rodyta.

Rasime taško atstumo iki tiesės formulȩ.

Teiginys. Taško M (m_{1}, m_{2}) atstumas iki tiesės t : ax + by + c = 0 yra lygus

\frac{|am_{1} + bm_{2} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}.

I̧rodymas. Nesunku matyti, kad tiesė t_{⊥}

b (x − m_{1}) − a (y − m_{2}) = 0
bx − ay + am_{2} − bm_{1} = 0

yra statmena tiesei t (žr. teoremos 2 sa̧lyga̧). Tegu N (n_{1}, n_{2}) − tiesiu̧ t ir t_{⊥} susikirtimo taškas.

Aišku, kad Taško M (m_{1}, m_{2}) atstumas iki tiesės t yra atkarpos MN ilgis:

MN = \sqrt{(m_{1} − n_{1})^{2} + (m_{2} − n_{2})^{2}}

Taškas N yra abiejose tiesėse t ir t_{⊥}, todėl

an_{1} + bn_{2} + c = 0
b (n_{1} − m_{1}) − a (n_{2} − m_{2}) = 0

Turime

am_{1} + bm_{2} + c = am_{1} + bm_{2} − (an_{1} + bn_{2}) = a (m_{1} − n_{1}) + b (m_{2} − n_{2}) .

Nagrinėkime sistema̧

\{ \begin{matrix}b (n_{1} − m_{1}) − a (n_{2} − m_{2}) = 0 \\ am_{1} + bm_{2} + c = a (m_{1} − n_{1}) + b (m_{2} − n_{2}) \end{matrix} .

Pakėlȩ šios sistemos abi lygtis kvadratu ir poto sudėjȩ turėsime

(am_{1} + bm_{2} + c)^{2} = (a^{2} + b^{2}) ((m_{1} − n_{1})^{2} + (m_{2} − n_{2})^{2})

arba

|am_{1} + bm_{2} + c| = \sqrt{(a^{2} + b^{2})} · \sqrt{((m_{1} − n_{1})^{2} + (m_{2} − n_{2})^{2})}
|am_{1} + bm_{2} + c| = \sqrt{(a^{2} + b^{2})} · MN

MN = \frac{|am_{1} + bm_{2} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}.

I̧rodyta.

Vektorinės tiesės lygtys.

Prisiminkime vektorius. Tegu xy plokštumos vektorius v^{→} = (X, Y) su teigiamomis koordinačiu̧ ašimis Ox ir Oy sudaro kampus α ir β. Šiu̧ kampu̧ kosinusai cos α, cos β vadinami vektoriaus v^{→} krypties kosinusais. Tada teisingos šios lygybės:

cos α = \frac{X}{\sqrt{X^{2}+Y^{2}}} ; cos β = \frac{Y}{\sqrt{X^{2}+Y^{2}}} ,

beto

cos^{2} α + cos^{2} β = 1.

Aptarkime kai kuriuos tiesės lygties pavidalus.

1. Tiesės t, einačios per taška̧ A(x_{0}, y_{0}) ir statmenos vektoriui n^{→} (a, b) , lygtis.

Tegu B (x, y) − bet kutis tiesės t taškas. Tada vektoriai n^{→} (a, b) ir AB^{→} (x − x_{0}, y − y_{0}) yra statmeni:

n^{→} (a, b) · AB^{→} (x − x_{0}, y − y_{0}) = 0

a (x − x_{0}) + b (y − y_{0}) = 0.

Tai ir yra ieškomoji lygtis, o vektorius n^{→} vadinamas tiesės t normalės vektoriumi.

2. Kanoninė tiesės t lygtis.

Tegu A (x_{1}, y_{1}) ir B (x_{2}, y_{2}) − du tiesės t taškai. Žinome, kad tiesės t lygtis tada yra

\frac{y − y_{1}}{y_{2} − y_{1}} = \frac{x − x_{1}}{x_{2} − x_{1}} .

Vektorius AB^{→} (x_{2} − x_{1}, y_{2} − y_{1}) = (l, m) =s^{→} vadinamas tiesės t krypties vektoriumi ir lygtis

\frac{y − y_{1}}{m} = \frac{x − x_{1}}{l}

kanonine tiesės t lygtimi.

3. Parametrinė tiesės t lygtis. Iš kanoninės tiesės t lygties turime, kad

\frac{y − y_{1}}{m} = \frac{x − x_{1}}{l} = t

ir gauname parametrinȩ tiesės t lygti̧:

x = l · t + x_{1}

y = m · t + y_{1},

čia t ∈ R.

4. Normalioji tiesės t : ax + by + c = 0 lygtis. Padauginȩ panariui bendra̧ja̧ tiesės t lygti̧ iš sign(−c) · \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} , čia sign(c) = [ \begin{matrix}1, jei c ≥ 0 \\ −1, jei c < 0 \end{matrix} ir pažymėjȩ cos α =sign(−c) · \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} , cos β =sign(−c) · \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} , −p =sign(−c) · \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} , gausime normalia̧ja̧ tiesės lygti̧:

x cos α + y cos β − p = 0.

Teigiamo skaičiaus p reikšmė - tai koordinačiu̧ pradžios atstumas iki tiesės, o n_{0}^{→} (cos α, cos β) − vienetinis normalės vektorius.

5. Vektorinė tiesės t lygtis. Tegu tiesė t eina per taška̧ A (x_{0}, y_{0}) ir statmena normalės vektoriui n^{→} . Tegu

B (x, y) - bet kuris tiesės taškas ir vektoriai r^{→}=OB^{⟶}, r_{0}^{→}=OA^{⟶} . Tada vektoriai r^{→} − r_{0}^{⟶} ir n^{→} - statmeni:

(r^{→} − r_{0}^{⟶}) · n^{→}= 0.

Tai ir yra vektorinė tiesės t lygtis.

Pastebėsime, kad vietoje n^{→} paėmus vienetini̧ normalės vektoriu̧ n_{0}^{→} turėsime:

r^{→} · n_{0}^{→}= p,

čia p− koordinačiu̧ pradžios atstumas iki tiesės. Pastaba. Jeigu tiesė t : (r^{→} − r_{0}^{⟶}) · n^{→}= 0 yra lygiagreti vektoriui s^{→}= (l, m) ,

tai vektoriai r^{→} − r_{0}^{⟶} ir s^{→} kolinearūs, t.y.

r^{→} − r_{0}^{⟶}=s^{→} t

r^{→}= r_{0}^{⟶} + s^{→} t, t ∈ R.

Gavome tiesės, lygiagrečios vektoriui s^{→}, vektorinȩ lygti̧. Norint iš tiesės vektoriniu̧ lygčiu̧ gauti koordinatines lygtis, reikia atlikti šiuos

pakeitimus:

\begin{matrix}r^{→} & ⟶ & x i^{→} +y j^{→} \\ r_{0}^{→} & ⟶ & x_{0} i^{→} +y_{0} j^{→} \\ n^{→} & ⟶ & a i^{→} +b j^{→} \\ n_{0}^{→} & ⟶ & cos α i^{→} + cos β j^{→} \\ s^{→} & ⟶ & l i^{→} +m j^{→} \end{matrix} .

Norint iš tiesės koordiatiniu̧ lygčiu̧ gauti vektorines lygtis, reikia atlikti šiuos pakeitimus:

\begin{aligned}x & ⟶ & r^{→} · i^{→} \\ y & ⟶ & r^{→} · j^{→} \\ a & ⟶ & n^{→} · i^{→} \\ b & ⟶ & n^{→} · j^{→} \\ cos α & ⟶ & n_{0}^{→} · i^{→} \\ cos β & ⟶ & n_{0}^{→} · j^{→} \\ l & ⟶ & s^{→} · i^{→} \\ m & ⟶ & s^{→} · j^{→} \end{aligned} .