Kodėl matematinis įrodymas svarbus jau pradinukams?

2020 03 23 Skaitytuvas380x250Rimas Norvaiša

Aptarsime tris priežastis dėl kurių matematinis įrodymas yra svarbus jau pradinukams ir paaiškinsime vieną stereotipą apie matematinį įrodymą.

Pirmoji priežastis – atpažinti mąstymo klaidas.

Antroji priežastis – iš ugdymo filosofijos srities.

Trečioji priežastis – EBPO švietimo politika.

Stereotipas – matematinis įrodymas yra tik teiginio teisingumo pagrindimas, turintis griežtą loginę struktūrą.

Pirmoji priežastis – atpažinti mąstymo klaidas

Matematikoje įprasta susidurti su dėsningumais, kurie galimai galioja be galo dideliam objektų kiekiui. Kaip įsitikinti, kad dėsningumas kartojasi be galo daug kartų? Mokykloje labai dažnai dėsningumas patikrinimas keliems pavyzdžiams ir paliekama manyti, kad jis teisingas visiems kurios nors begalinės klasės elementams. Deja, tokiu būdu pratiname prie mąstymo klaidų, kurios ateityje tampa įpročiu.

[..]

Antroji priežastis – iš ugdymo filosofijos srities

Filosofinis argumentas:

  • Pirma, norime supažindinti su matematika.
  • Antra, jei norime supažindinti su dalyku, tai, nuo pat mokymo pradžios, turėtume mokyti to dalyko esmines savybes (struktūrą ir logiką).
  • Trečia, įrodymas yra matematikos esminė savybė (siela).
  • Išvada: su įrodymu turėtume pradėti supažindinti jau pradinukus.

[..]

Trečioji priežastis – EBPO švietimo politika

Mūsų švietimo politika tapo priklausoma nuo EBPO švietimo politikos dar gerokai iki Lietuvai tapus pilnateise jos nare 2018 metais. Todėl EBPO švietimo standartai mums turi didelę įtaką. Trumpai apie šiuos standartus mokyklinės matematikos srityje.

Mokyklinės matematikos turinio centre yra matematinis samprotavimas ir problemų sprendimas (!).

[..]

Daugelis žmonių apie įrodymą turi vienareikšmę nuomonę – tai būdas įsitikinti, kad matematinis teiginys yra teisingas. Bet tai yra tik dalis tiesos. Ne mažiau svarbi yra kita įrodymo paskirtis – paaiškinti, kodėl teiginys teisingas. Ne visi įrodymai vienodai gerai atlieka pastarąją paskirtį. Todėl labai dažnai akademinėje matematikoje vienu to paties fakto įrodymu neapsiribojama. Ypač kai pirmasis įrodymas yra ilgas ir sudėtingas, nepaaiškinantis kodėl teiginys teisingas.

Kita stereotipo apie matematinį įrodymą dalis yra jo forma. Manoma, kad įrodymas turi atitikti tam tikrus formalius loginio taisyklingumo reikalavimus. Tačiau taip įrodymas suprantamas tada, kai jis pats yra matematinio tyrimo objektu. Praktiškai įrodyme visada būna tiesiogiai neįvardijamų samprotavimo dalių. Tokių dalių, kurias tos srities specialistas reikalui esant galėtų užpildyti. Įrodymo pilnumas priklauso nuo to, kam jis skirtas. Anksčiau apibūdintas mokyklinis įrodymas turi tą pačią savybę.  

Deja, mokyklinėje matematikoje įrodymas dažnai vertinamas tik stereotipine prasme. Atiduodant duoklę vis dar pripažįstamai įrodymo svarbai, jis paprasčiausiai tampa ritualu, jo mokomasi mintinai. Ir šia prasme įrodymo reikalingumas kvestionuojamas, nes mokyklinės tiesos laikomos ir taip neabejotinai teisingomis.

Tačiau aiškinamoji įrodymo funkcija mokykloje yra ypatingai svarbi. Todėl mokykloje svarbu ieškoti tokių faktų ir jų įrodymo būdų, kurie paaiškintų to fakto teisingumą. Bandant įrodymus nukelti į paskutines klases ir nesirūpinti jų aiškinamąja funkcija reiškia atsisakymą tokiu būdu ieškoti prasmės matematikoje.

Literatūra

A.J. Stylianides. Proving in the elementary mathematics classroom. Oxford University Press, 2016.

D.A. Stylianou, M.L. Blanton, E.J. Knuth (eds). Teaching and Learning Proof Across the Grades. A K-16 Perspective. Routledge, 2009.

P.J. Davis. (1981) Are there coincidences in mathematics? American Mathematical Monthly, 88, 311-320.

Visą straipsnį galite rasti čia.