AŠTUNTOJI KALĖDINĖ INDIVIDUALIOJI RASEINIŲ KRAŠTO OLIMPIADA PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS TAUREI LAIMĖTI

RASEINIAI, “ŽEMAIČIO” GIMNAZIJA, 2007-12-13

1. Kiekvienas orus Raseinių krašto jaunuolis, prijaučiantis arba informacinės, arba ir žinių visuomenės idėjoms ir perspektyvoms, nors kartą gyvenime yra praleidęs bent keletą dienų, galinėdamasis su tokiu uždaviniu.

Į nepatamsintus lentelės langelius, po vieną skaičių į kiekvieną langelį, surašome visus sveikuosius skaičius nuo 1 iki 10 taip, kad visų 4 viršutinės eilutės, visų 4 apatinės eilutės, visų 3 kairiojo stulpelio ir visų 3 dešiniojo stulpelio skaičių sumos yra lygios tam pačiam skaičiui T.

(i) nurodykite tokio surašymo būdą, jeigu T = 20;

(ii) raskite pačią didžiausią galimą ir pačią mažiausią galimą T reikšmes;

(iii) raskite visas įmanomas tokias T reikšmes. Kiekvienai T reikšmei užpildykite po lentelę.

2. Po Lyduvėnų tiltu per Jonines jaunieji proto kultūristai kasmet atvelka kubo formos švino gabalą, kurio briauna yra 1 m ilgio, ir nedelsdami ima skaičiuoti, kiek stačiųjų trikampių galima gauti jungiant atkarpomis kurias nors 3 atvilkto kubo viršūnes. Kiek iš viso yra tokių stačiųjų trikampių?

3. Visi judėjimo „Nei keturi, nei devyni“ Betygalos skyriaus nariai yra nepalenkiamai įsitikinę, kad pasaulyje nėra ir negali būti dviejų gretimų (kaip 11 ir 12) sveikųjų skaičių tokių, kad vienas iš jų turėtų lygiai 4, o kitas - lygiai 9 daliklius. Ar jie yra teisūs taip manydami?

(Pastaba. Skaičiuodami bet kurio skaičiaus daliklius, mes nepamirštame, kad ir 1, ir pats skaičius irgi yra laikomi bet kurio skaičiaus dalikliais. Pavyzdžiui, skaičiaus 12 dalikliai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12 – iš viso 6.)

4. Artūras Lyduvėnuose ieško atsakančiai raseiniškų triženklių skaičių. Sveikasis teigiamas triženklis skaičius vadinamas atsakančiai raseinišku, jeigu pakeitus bet kurį jo skaitmenį kitu skaitmeniu taip, kad išeitų skirtingas triženklis skaičius, gaunamas skaičius visada nesidalija iš 7.

(i) nurodykite vieną atsakančiai raseinišką skaičių;

(ii) nurodykite du atsakančiai raseiniškus skaičius;

(iii) suraskite visus triženklius atsakančiai raseiniškus skaičius.

5. Vienas iš pačių įspūdingiausių Vadžgirio Mokslo ir technologijų šlovės muziejaus eksponatų yra garsusiojo ariogališkojo keturkampio originalas, apie kurį užsimenama jau Babrungo kronikose ir kuris pagal padavimus mena Saulės mūšio laikus. Sutinkamai su nusistovėjusia tradicija keturkampis ABCD vadinamas ariogališkuoju, jei AB = BC, BAC = 60º CAD = 40º ir BXC = 100º, kur X žymi įstrižainių AC ir BD sankirtos tašką. Kiekvienais metais per Mokslo pagrindų šventę visi penktokai matuoja, kam lygus ariogališkojo keturkampio kampas BDC. Koks yra tikrasis kampo BDC didumas?